Hugtakasafn

Eftirfarandi setning er alltaf kennd við gríska stærðfræðinginn Pýþagóras (um 570-495 f.Kr.) og kölluð setning Pýþagórasar.

Setningu Pýþagórasar má túlka rúmfræðilega með því að teikna ferninga utaná allar hliðar rétthyrnds þríhyrnings eins og á myndinni hér fyrir neðan. Þá segir setningin að flatarmál ferningsins á langhliðinni er jafn stórt og samanlagt flatarmál ferninganna á skammhliðunum. Með öðrum orðum, flatarmál græna ferningsins er jafn stórt og samanlagt flatarmál rauða og gula ferningsins.

Þó setningin sé alltaf kennd við Pýþagóras, þá voru mis almennar framsetningar á henni þekktar löngu fyrir daga Pýþagóringa, m.a. í Mesapótamíu og á Indlandi.

Myndræn sönnun á setningu Pýþagórasar

Það eru til margar myndrænar sannanir á setningu Þýþagróasar. Þær ganga oft út á að raða saman rétthyrndum þríhyrningi og ferningunum á hliðar hans á ólíka vegu þannig setningin verði ljós af eiginleikum flatarmáls. Ein slík sönnun sést á eftirfarandi mynd.

Vegna þess að þríhyrningurinn er rétthyrndur, þá myndar hvor samsetta myndin ferning. Ferningarnir hafa báðir hliðarlengdir $a+b$ og hafa því sama flatarmál. Ef við fjarlægjum þríhyrningana fjóra úr báðum myndunum, þá hljóta flatarmál svæðanna sem eftir verða á hvorri mynd einnig að vera jöfn. Svæðið sem verður eftir vinstra megin er ferningurinn á langhliðina, sem hefur flatarmálið $c^2$. Svæðið sem verður eftir hægra megin samanstendur af ferningunum á skammhliðarnar, en þeir hafa samanlagt flatarmál $a^2+b^2$. Við ályktum að $c^2=a^2+b^2$ sem er einmitt það sem við vildum sýna.

Kínverska sönnunin á setningu Pýþagórasar

Eftirfarandi sönnun er að hluta myndræn en krefst smá algebrulegrar umritunar. Sértilfelli af henni er að finna í kínverska safnritinu Zhou bi suan jing (周髀算经) frá fyrri hluta Han keisaraættarinnar (fyrstu tveimur öldum f.Kr.)

Með því að raða saman fjórum eintökum af tilteknum rétthyrndum þríhyrningi, þá fáum við svæði eins og á myndinni. Þar sem þríhyrningarnir eru rétthyrndir, þá er þetta svæði mismunur tveggja ferninga. Sá stærri hefur hliðarlengd $c$, en sá minni hefur hliðarlengd sem er mismunur skammhliða þríhyrningsins. Með því að skipta hugsanlega um nöfn skammhliðunum, þá getum við gert ráð fyrir að $b\geq a$, og því hefur minni ferningurinn hliðarlengdina $b-a$. Nú reiknum við flatarmál nokkurra ólíkra svæða á myndinni.

1. Flatarmál hvers þríhyrnings er $\frac{1}{2}ab$ og flatarmál þeirra allra því $2ab$.

2. Flatarmál stóra ferningsins er $c^2$.

3. Flatarmál litla ferningsins er $(b-a)^2=b^2-2ab+a^2$.

En nú má skipta stóra ferningnum upp í litla ferninginn og þríhyrningana. Flatarmál stóra ferningsins hlýtur þá að vera jafnt summu flatarmála þríhyrninganna og litla ferningsins. Við fáum að \[c^2=2ab+(b^2-2ab+a^2)=b^2+a^2.\] En það er einmitt það sem við vildum sýna.

Sönnun á setningu Pýþagórasar sem notar einslaga þríhyrninga

Við drögum hæðina á langhliðina $AB$ og köllum fótpunkt hennar $P$. Hún skiptir þríhyrningnum $ABC$ í tvo þríhyrninga, $ACP$ og $CBP$.

Við athugum fyrst að allir þrír þríhyrningarnir $ABC$, $ACP$ og $CBP$ eru einshyrndir. Til að auðvelda samanburðinn teiknum við þríhyrningana $ACP$ og $CBP$ þannig að þeir snúi eins og $ABC$.

Við athugum fyrst að þríhyrningarnir $ABC$ og $CBP$ eru einshyrndir. Til að sjá það þá tökum við eftir að þeir eru báðir rétthyrndir og hafa $\angle B$ sameiginlegt. Þeir hafa því tvö eins horn og eru því einshyrndir.

Þar sem $ABC$ og $CBP$ eru einshyrndir, þá eru þeir líka einslaga og því samsvarandi hlutföll hliðalengda jöfn. Við fáum að \[\frac{a}{c}=\frac{|BP|}{a}\] sem einnig má rita $a^2=c\cdot |BP|$.

Næst athugum við að þríhyrningarnir $ABC$ og $ACP$ eru einshyrndir. Eins og að ofan þá tökum við eftir að þeir eru báðir rétthyrndir en í þessu tilfelli hafa þeir $\angle A$ sameiginlegt. Þríhyrningarnir hafa þvi tvö eins horn og eru því einshyrndir.

Þar sem $ABC$ og $ACP$ eru einshyrndir, þá fáum við eins og að ofan að \[\frac{b}{c}=\frac{AP}{b}\] sem einnig má rita $b^2=c\cdot |AP|$.

Að lokum leggjum við saman jöfnurnar tvær, $a^2=c\cdot |BP|$ og $b^2=c\cdot |AP|$, og fáum að \[\begin{aligned} a^2+b^2&=c\cdot |BP|+c\cdot |AP| \\ &=c\cdot (|BP|+|AP|) \\ &=c\cdot c \\ &=c^2. \end{aligned}\]