Hugtakasafn

Í þessari grein látum við bókstafina $m$ og $n$ standa fyrir tvær ákveðnar náttúrulegar tölur.

Skilgreining á samlagningu

Segjum að við höfum tvö aðskilin söfn af hlutum, þar sem fjöldi hluta í öðru safninu er $m$ og fjöldi hluta í hinu safninu er $n$. Sameinum síðan innihald safnanna tveggja í nýtt safn, eins og myndin að neðan sýnir.

Heildarfjöldi hluta í nýja safninu kallast summa talnanna $m$ og $n$, og hún er táknuð með $m+n$ (lesið: $m$ plús $n$).

Það að finna summuna $m+n$ kallast að leggja saman tölurnar $m$ og $n$. Aðgerðin sem felst í því að leggja saman tölurnar $m$ og $n$ kallast á sama hátt samlagning.

Samlagning túlkuð sem viðbót

Oft getur verið hentugt að hugsa samlagningu á annan hátt. Hugsum okkur aftur að við höfum tvö aðskilin söfn af hlutum, þar sem fjöldi hluta er annars vegar $m$ og hins vegar $n$. Bætum síðan hlutunum $n$ úr seinna safninu við fyrra safnið. Við þetta verður til nýtt safn þar sem fjöldi hluta er $m+n$, svo þetta ferli kemur á sama stað niður og ferlið sem lýst var í skilgreiningunni að ofan.

Þegar summan $m+n$ er fundin með þessum hætti kallast það að bæta $n$ við $m$ eða að leggja $n$ við $m$.

Samlagningaraðferðir

Hér að neðan verður fjallað um nokkrar aðferðir sem hægt er að nota til að finna summu tveggja talna $m$ og $n$.

1. Samkvæmt skilgreiningu

Einfaldast er auðvitað að fara beint eftir skilgreiningunni á samlagningu. Þá ímyndum við okkur að við höfum eitt safn af $m$ hlutum, til dæmis eplum, og annað safn af $n$ hlutum, til dæmis appelsínum. Síðan sameinum við innihald þeirra í nýtt safn og finnum heildarfjölda hluta í því.

Dæmi:   Segjum að við ætlum að finna summuna $6+9$ með því að nota skilgreininguna á samlagningu. Þá ímyndum við okkur að við höfum annars vegar safn af $6$ eplum og hins vegar safn af $9$ appelsínum.

Sameinum nú eplin og appelsínurnar í nýtt safn, eins og myndin að neðan sýnir.

Þá sjáum við að heildarfjöldi hluta í nýja safninu er $15$.

Samkvæmt skilgreiningu á samlagningu þýðir þetta að summa talnanna $6$ og $9$ er $15$, sem skrifa má svona með táknmáli: \[ 6 + 9 = 15. \]

2. Talning

Ef notuð er viðbótartúlkunin á samlagningu er mjög einfalt að finna summuna $m+n$ með talningu. Til að bæta $n$ við $m$ nægir nefnilega að telja $n$ tölur upp frá $m$.

3. Talnalínan

Summuna $m+n$ er einnig hægt að finna með ferðalagi eftir talnalínunni, eins og nú verður lýst.

Ferðalagið byrjar í upphafspunkti talnalínunnar, þ.e. í punktinum sem geymir töluna $0$. Fyrst förum við $m$ skref af lengd $1$ frá upphafspunktinum og síðan $n$ skref til viðbótar. Að ferðalaginu loknu höfum við þá alls farið $m+n$ skref frá upphafspunktinum.

Rifjum nú upp að talnalínan er þannig uppbyggð að sérhver náttúruleg tala $p$ liggur á þeim punkti talnalínunnar sem er $p$ skrefum frá upphafspunktinum. Ferðalagið sem lýst var í síðustu efnisgrein endar þess vegna í punktinum sem geymir töluna $m+n$.

Við getum því lesið summu talnanna $m$ og $n$ af talnalínunni með því að kanna á hvaða tölu ferðalagið endar.

Dæmi:   Segjum að við ætlum að finna summu talnanna $8$ og $5$ með hjálp talnalínunnar. Við byrjum þá í upphafspunkti talnalínunnar, förum fyrst $8$ skref frá honum og síðan $5$ skref til viðbótar.

Talan sem ferðalagið endar á er $13$. Þetta þýðir að summa talnanna $8$ og $5$ er $13$, sem skrifa má svona með táknmáli: \[ 8+5 = 13. \]

Við getum einnig hugsað þetta ferðalag á talnalínunni á annan hátt. Í stað þess að byrja í upphafspunkti talnalínunnar, fara fyrst $m$ skref af lengd $1$ frá honum og síðan $n$ skref í viðbót getum við allt eins byrjað í tölunni $m$ á talnalínunni og farið $n$ skref frá henni. Þetta er vegna þess að talan $m$ liggur einmitt á þeim punkti talnalínunnar sem er $m$ skrefum frá upphafspunktinum.

Dæmi:   Segjum að við ætlum aftur að finna summu talnanna $8$ og $5$ með hjálp talnalínunnar, en nú með nýju aðferðinni. Þá byrjum við í tölunni $8$ á talnalínunni og förum $5$ skref frá henni.

Eins og áður er $13$ talan sem ferðalagið endar á, sem þýðir að $8+5=13$.

4. Reiknivél

Loks getum við fundið summuna $m+n$ með því að búa til eins konar reiknivél úr tveimur talnalínum.

Hugsum okkur að við höfum tvær talnalínur sem hafa sömu lengdareiningu. Leggjum síðan aðra talnalínuna beint undir hina á eftirfarandi hátt:

• Báðar talnalínurnar vísa í sömu átt.
• Upphafspunktur neðri talnalínunnar liggur beint undir tölunni $m$ á efri talnalínunni.

Myndin að neðan varpar ljósi á þessa uppstillingu.

Þegar talnalínunum er stillt upp með þessum hætti lendir talan $n$ á neðri talnalínunni beint undir tölunni $m+n$ á efri talnalínunni. Þetta er vegna þess að $n$ skref af lengd $1$ eru milli talnanna $m$ og $m+n$ á efri talnalínunni, og sömuleiðis eru $n$ skref milli talnanna $0$ og $n$ á neðri talnalínunni.

Við getum því lesið summuna $m+n$ af efri talnalínunni með því að kanna hvaða tala liggur beint yfir tölunni $n$ á neðri talnalínunni.

Dæmi:   Segjum að við ætlum að finna summuna $7+11$ með hjálp reiknvélarinnar sem lýst var að ofan. Við leggjum þá eina talnalínu beint undir aðra talnalínu þannig að þær vísi báðar í sömu átt og þannig að upphafspunktur neðri talnalínunnar lendi beint undir tölunni $7$ á efri talnalínunni.

Við sjáum að $18$ er sú tala á efri talnalínunni sem liggur beint fyrir ofan töluna $11$ á neðri talnalínunni. Þetta þýðir að summa talnanna $7$ og $11$ er $18$, sem skrifa má svona með táknmáli:

\[ 7 + 11 = 18. \]