Hugtakasafn

Í þessari grein standa bókstafirnir $m$ og $n$ fyrir tvær ákveðnar náttúrulegar tölur.

Samanburðarhugtök

Náttúrulegu tölurnar eru notaðar til að lýsa fjölda hluta. Þess vegna er hægt að bera saman stærð talnanna $m$ og $n$ með því að bera saman fjöldann sem þær lýsa. Niðurstaða samanburðarins getur verið þrenns konar:

• Ef talan $m$ lýsir fleiri hlutum en talan $n$, þá segjum við að talan $m$ sé stærri en talan $n$. Þetta er táknað svona: \[ m>n. \]
• Ef talan $m$ lýsir jafn mörgum hlutum og talan $n$, þá segjum við að talan $m$ sé jöfn tölunni $n$. Þetta er táknað svona: \[ m = n. \]
• Ef talan $m$ lýsir færri hlutum en talan $n$, þá segjum við að talan $m$ sé minni en talan $n$. Þetta er táknað svona: \[ m<n. \] Vert er að taka eftir því að $m > n$ þýðir nákvæmlega það sama og að $n < m$.

Eins og sést notum við í raun sama merkið til að tákna að $m$ sé stærri en $n$ og að $m$ sé minni en $n$, nema það snýr á ólíkan hátt í hvoru tilviki fyrir sig. Einföld leið til að muna hvernig merkið á að snúa er að ímynda sér að það sé ginið á svöngum krókódíl. Krókódíllinn vill að sjálfsögðu fá sem mest að borða og þess vegna opnar hann ginið að stærri tölunni (hún lýsir fleiri hlutum).

$m$ er stærri tala en $n$	$m$ er minni tala en $n$

Gerum ráð fyrir að við höfum tvær náttúrulegar tölur $m$ og $n$. Það sem eftir er greinarinnar verður farið í ólíkar aðferðir til að bera saman $m$ og $n$.

Pörun

Einfaldasta aðferðin til að bera tölurnar saman er að ímynda sér að við höfum tvö aðskilin söfn af hlutum, þar sem annað hefur $m$ hluti og hitt hefur $n$ hluti. Við getum til dæmis ímyndað okkur að við höfum $m$ epli og $n$ appelsínur. Pörum síðan saman eitt epli og eina appelsínu eins oft og við getum. Þegar þessari pörun er lokið höfum við annaðhvort klárað eplin eða appelsínurnar eða bæði. Þá getur þrennt gerst:

• Ef við klárum appelsínurnar en eigum epli eftir, þá eru eplin fleiri en appelsínurnar og þess vegna er $m > n$.
• Ef við klárum bæði eplin og appelsínurnar, þá eru eplin jafnmörg og appelsínurnar og þess vegna er $m = n$.
• Ef við klárum eplin en eigum appelsínur eftir, þá eru eplin færri en appelsínurnar og þess vegna er $m < n$.

Dæmi:   Segjum að við höfum $14$ epli og $17$ appelsínur, eins og myndin að neðan sýnir.

Með því að búa til eins mörg pör af epli og appelsínu sjáum við að $3$ appelsínur verða afgangs.

Þetta sýnir að eplin eru færri en appelsínurnar, og þess vegna er $14 < 17$.

Talning

Önnur aðferð til að bera saman tölurnar er að telja upp í $m$ annars vegar og $n$ hins vegar án þess að hafa sérstaka hluti í huga. Þá getur þrennt gerst:

• Ef talningin upp í $n$ endar áður en við komum að $m$, þá lýsir $m$ meiri fjölda en $n$ og þess vegna er $m > n$.
• Ef talningin upp í $n$ endar einmitt í $m$, þá lýsir $m$ sama fjölda og $n$ og þess vegna er $m = n$.
• Ef talningin upp í $n$ fer framhjá $m$, þá lýsir $m$ minni fjölda en $n$ og þess vegna er $m < n$.

Talnalínan

Enn önnur leið til að bera saman tölurnar $m$ og $n$ er að skoða talnalínuna. Rifjum upp að talan $m$ er á þeim punkti talnalínunnar sem fæst með því að fara $m$ einingarskref frá tölunni $0$ og talan $n$ er á þeim punkti sem fæst með því að fara $n$ einingarskref frá tölunni $0$. Sem áður getur þrennt gerst:

• Ef $m$ er hægra megin við $n$ á talnalínunni, þá þarf fleiri skref til að fara frá $0$ til $m$ en til að fara frá $0$ til $n$. Þar sem fjöldi skrefa sem þarf að fara frá $0$ til $m$ er $m$ og fjöldi skrefa sem þarf að fara frá $0$ til $n$ segir þetta okkur að $m$ lýsi meiri fjölda en $n$, það er $m > n$.
• Ef $m$ er á sama stað og $n$ á talnalínunni, þá þarf að fara jafnmörg skref frá til $0$ til að komast í $m$ og $n$. Það þýðir að $m$ og $n$ lýsa sama fjölda, það er $m = n$.
• Ef $m$ er vinstra megin við $n$ á talnalínunni, þá þarf færri skref til að fara frá $0$ til $m$ en að fara frá $0$ til $m$. Þetta segir okkur að $m$ lýsi minni fjölda en $n$, það er $m < n$.

Dæmi:   Af talnalínunni hér að ofan má lesa ýmislegt um samband talnanna sem hún sýnir. Til dæmis getum við sagt að $13 > 8$, því $13$ er hægra megin við $8$ á talnalínunni. Sömuleiðis er $14 < 19$, því $14$ er vinstra megin við $19$ á talnalínunni.

Fleiri dæmi sem við getum tekið er að $2 < 7$, $15 > 12$, $11 < 18$ og $17 > 16$.

Hér getur einnig verið sniðugt að hugsa sér að talnalínan sé lóðrétt í stað þess að hún sé lárétt, þ.e. að hún vísi beint upp í stað þess að hún vísi beint til hægri. Þetta er vegna þess að þá fæst eftirfarandi eðlilega túlkun á röðun talnanna $m$ og $n$:

• Að $m$ sé stærri tala en $n$ þýðir að $m$ liggi fyrir ofan $n$ á talnalínunni.
• Að $m$ sé jöfn $n$ þýðir sem áður að hún sé á sama stað og $n$ á talnalínunni.
• Að $m$ sé minni tala en $n$ þýðir að $n$ liggi fyrir neðan $n$ á talnalínunni.

Dæmi:   Af talnalínunni hér að ofan má lesa ýmislegt um samband talnanna sem hún sýnir. Til dæmis getum við sagt að $11 > 7$, því $11$ er fyrir ofan $7$ á talnalínunni. Sömuleiðis er $3 < 8$, því $3$ er fyrir neðan $8$ á talnalínunni.

Fleiri dæmi sem við getum tekið er að $5 < 11$, $12>9$, $9<10$ og $6>2$.