Hugtakasafn

Í þessari grein látum við bókstafina $m$ og $n$ standa fyrir tvær ákveðnar náttúrulegar tölur, þar sem $n$ er minni tala en $m$.

Skilgreining á frádrætti

Segjum að við höfum eitthvert tiltekið safn af hlutum, þar sem fjöldi hluta er $m$. Fjarlægjum síðan $n$ hluti úr safninu, eins og myndin að neðan sýnir.

Fjöldi hluta, sem þá eru eftir í safninu, kallast mismunur talnanna $m$ og $n$, og hann er táknaður með $m-n$ (lesið: $m$ mínus $n$).

Það að finna mismuninn $m-n$ kallast að draga töluna $n$ frá tölunni $m$. Aðgerðin sem felst í því að draga töluna $n$ frá tölunni $m$ kallast á sama hátt frádráttur.

Frádráttur túlkaður sem skipting í hópa

Oft getur verið hentugt að hugsa frádrátt á annan hátt. Hugsum okkur aftur að við höfum eitthvert tiltekið safn af $m$ hlutum. Skiptum síðan safninu í tvo hópa, þar sem annar hópurinn hefur $n$ hluti. Fjöldi hluta í hinum hópnum verður þá greinilega $m-n$, svo þetta ferli gefur okkur mismun talnanna $m$ og $n$ alveg eins og ferlið sem lýst var í skilgreiningunni að ofan.

Frádráttaraðferðir

Hér að neðan verður fjallað um nokkrar aðferðir sem hægt er að nota til að finna mismun tveggja talna $m$ og $n$.

1. Samkvæmt skilgreiningu

Einfaldast er auðvitað að fara beint eftir skilgreiningunni á frádrætti. Þá ímyndum við okkur að við höfum eitthvert safn af $m$ hlutum, til dæmis appelsínum, fjarlægjum $n$ hluti úr því og finnum fjölda hluta sem þá eru eftir í safninu.

Dæmi:   Segjum að við ætlum að finna mismuninn $13-6$ með því að nota skilgreininguna á frádrætti. Þá ímyndum við okkur að við höfum safn af $13$ appelsínum.

Fjarlægjum nú $6$ af þessum appelsínum úr safninu, eins og myndin að neðan sýnir.

Að þessu loknu eru $7$ appelsínur eftir í safninu.

Samkvæmt skilgreiningu á frádrætti þýðir þetta að mismunur talnanna $13$ og $6$ er $7$, sem skrifa má svona með táknmáli: \[ 13-6 = 7. \]

Sýnidæmið að ofan má hugsa á annan hátt ef notast er við skiptingartúlkunina á frádrætti. Þá ímyndum við okkur aftur að við höfum safn af $13$ appelsínum og að við skiptum safninu í tvo hópa, þar sem annar hópurinn hefur $6$ appelsínur. Á sama hátt og í dæminu að ofan fæst þá að hinn hópurinn hefur $7$ appelsínur, sem þýðir að $13-6=7$.

2. Talning

Einnig er einfalt er að finna mismuninn $m-n$ með talningu. Til að draga $n$ frá $m$ nægir nefnilega að telja $n$ tölur niður frá $m$.

3. Skref á talnalínunni

Mismuninn $m-n$ er einnig hægt að finna með ferðalagi eftir talnalínunni, eins og nú verður lýst.

Ferðalagið byrjar í upphafspunkti talnalínunnar, þ.e. í punktinum sem geymir töluna $0$. Fyrst förum við $m$ skref af lengd $1$ áfram frá upphafspunktinum og síðan $n$ skref til baka. Að ferðalaginu loknu höfum við þá alls farið $m-n$ skref frá upphafspunktinum.

Rifjum nú upp að talnalínan er þannig uppbyggð að sérhver náttúruleg tala $p$ liggur á þeim punkti talnalínunnar sem er $p$ skrefum frá upphafspunktinum. Ferðalagið sem lýst var í síðustu efnisgrein endar þess vegna í punktinum sem geymir töluna $m-n$.

Við getum því lesið mismun talnanna $m$ og $n$ af talnalínunni með því að kanna á hvaða tölu ferðalagið endar.

Dæmi:   Segjum að við ætlum að draga $8$ frá $11$ með hjálp talnalínunnar. Við byrjum þá í upphafspunkti talnalínunnar, förum fyrst $11$ skref áfram og síðan $8$ skref til baka.

Talan sem ferðalagið endar á er $3$. Þetta þýðir að mismunur talnanna $11$ og $8$ er $3$, sem skrifa má svona með táknmáli: \[ 11-8=3. \]

Við getum einnig hugsað þetta ferðalag á talnalínunni á annan hátt. Í stað þess að byrja í upphafspunkti talnalínunnar, fara fyrst $m$ skref af lengd $1$ áfram og síðan $n$ skref til baka getum við allt eins byrjað í tölunni $m$ á talnalínunni og farið $n$ skref afturábak frá henni. Þetta er vegna þess að talan $m$ liggur einmitt á þeim punkti talnalínunnar sem er $m$ skrefum frá upphafspunktinum.

Dæmi:   Segjum að við ætlum aftur að draga $8$ frá $11$ með hjálp talnalínunnar, en nú með nýju aðferðinni. Þá byrjum við í tölunni $11$ á talnalínunni og förum $8$ skref afturábak frá henni.

Eins og áður er $3$ talan sem ferðalagið endar á, sem þýðir að $11-8=3$.

4. Reiknivél

Loks getum við fundið mismuninn $m-n$ með því að búa til eins konar reiknivél úr tveimur talnalínum.

Hugsum okkur að við höfum tvær talnalínur sem hafa sömu lengdareiningu. Leggjum síðan aðra talnalínuna beint undir hina á eftirfarandi hátt:

• Talnalínurnar vísa í gagnstæðar áttir.
• Upphafspunktur neðri talnalínunnar liggur beint undir tölunni $m$ á efri talnalínunni.

Myndin að neðan varpar ljósi á þessa uppstillingu.

Þegar talnalínunum er stillt upp með þessum hætti lendir talan $n$ á neðri talnalínunni beint undir tölunni $m-n$ á efri talnalínunni. Þetta er vegna þess að $n$ skref af lengd $1$ eru milli talnanna $m$ og $m-n$ á efri talnalínunni, og sömuleiðis eru $n$ skref milli talnanna $0$ og $n$ á neðri talnalínunni.

Við getum þess vegna lesið mismuninn $m-n$ af efri talnalínunni með því að kanna hvaða tala liggur beint yfir tölunni $n$ á neðri talnalínunni.

Dæmi:   Segjum að við ætlum að finna mismuninn $17-12$ með hjálp reiknivélarinnar sem lýst var að ofan. Við leggjum þá eina talnalínu beint undir aðra talnalínu þannig að þær vísi í gagnstæðar áttir og þannig að upphafspunktur neðri talnalínunnar lendi beint undir tölunni $17$ á efri talnalínunni.

Við sjáum að $5$ er sú tala á efri talnalínunni sem liggur beint fyrir ofan töluna $12$ á neðri talnalínunni. Þetta þýðir að mismunur talnanna $17$ og $12$ er $5$, sem skrifa má svona með táknmáli: \[ 17 - 12 = 5. \]