Processing math: 100%
Skip to Content

Látum f:XY vera fall þar sem X og Y eru hlutmengi í mengi rauntalna. Sagt er að feinhalla ef það er vaxandi eða minnkandi og sagt er að fstranglega einhalla ef það er stranglega vaxandi eða stranglega minnkandi.

Sérhvert stranglega einhalla fall f:XY er eintækt. Ef það er átækt er það því andhverfanlegt og þá er andhverfan f1:YX líka stranglega einhalla með sama halla og f (þ.e. f1 er stranglega vaxandi ef f er stranglega vaxandi og f1 er stranglega minnkandi ef f er stranglega minnkandi).

Vaxandi (fall)

Látum f:XY vera fall þar sem X og Y eru hlutmengi í mengi rauntalna. Sagt er að fvaxandi ef það varðveitir röðun stakanna í X, þ.e. ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt á menginu X: Efx1x2,þá erf(x1)f(x2).

Með öðrum orðum er f vaxandi ef fallgildið f(x) helst jafnt eða stækkar eftir því sem x stækkar. Þegar sýna á að tiltekið fall sé vaxandi getur eftirfarandi umritun á skilyrðinu að ofan verið gagnleg: Efx2x10,þá erf(x2)f(x1)0.
Fall f er vaxandi ef og aðeins ef fallið f er minnkandi.

Sagt er að fstranglega vaxandi ef sleppa má jafnaðarmerkjunum í skilyrðinu að ofan, þ.e. ef eftirfarandi er uppfyllt á menginu X: Efx1<x2,þá erf(x1)<f(x2),

Með öðrum orðum er f stranglega vaxandi ef fallgildið f(x) stækkar eftir því sem x stækkar og sérhvert stranglega vaxandi fall er því sér í lagi vaxandi. Á sama hátt og áður getur eftirfarandi umritun verið gagnleg: Efx2x1>0,þá erf(x2)f(x1)>0.
Fall f er stranglega vaxandi ef og aðeins ef fallið f er stranglega minnkandi.

Munurinn á vaxandi og stranglega vaxandi föllum er sá að ef f er vaxandi má fallgildið f(x) haldast jafnt eftir því sem x stækkar en ef f er stranglega vaxandi verður f(x) að stækka. Með öðrum orðum eru stranglega vaxandi föll eintæk á meðan vaxandi föll þurfa ekki að vera það. Myndirnar að neðan leiða þennan mun í ljós. Sú vinstri sýnir graf falls sem er vaxandi en ekki stranglega vaxandi en sú hægri sýnir graf falls sem er stranglega vaxandi.

Eins og kemur fram að ofan er sérhvert stranglega vaxandi fall f:XY eintækt. Ef það er átækt er það því andhverfanlegt og þá er andhverfan f1:YX er líka stranglega vaxandi.

Dæmi:  

  • Sýnum að fallið f:RR; f(x)=2x+3 sé stranglega vaxandi. Látum því x1,x2R með x2x1>0 og athugum: f(x2)f(x1)=(2x2+3)(2x1+3)=2(x2x1)>0,
    því samkvæmt forsendu er (x2x1)>0. Þetta sýnir að f er stranglega vaxandi.
  • Sýnum að fallið g:R+R; g(x)=x2 sé stranglega vaxandi. Látum því x1,x2R+ með x2x1>0 og athugum: g(x2)g(x1)=x22x21=(x2+x1)(x2x1)>0,
    því sviginn (x2+x1) er jákvæður þar sem x1,x2R+ og sviginn (x2x1) er jákvæður samkvæmt forsendu. Þetta sýnir að g er stranglega vaxandi.

Minnkandi (fall)

Látum f:XY vera fall þar sem X og Y eru hlutmengi í mengi rauntalna. Sagt er að fminnkandi ef það umhverfir röðun stakanna í X, þ.e. ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt á menginu X: Efx1x2,þá erf(x1)f(x2).

Með öðrum orðum er f minnkandi ef fallgildið f(x) helst jafnt eða minnkar eftir því sem x stækkar. Þegar sýna á að tiltekið fall sé minnkandi getur eftirfarandi umritun á skilyrðinu að ofan verið gagnleg: Efx2x10,þá erf(x2)f(x1)0.
Fall f er minnkandi ef og aðeins ef fallið f er vaxandi.

Sagt er að fstranglega minnkandi ef sleppa má jafnaðarmerkjunum í skilyrðinu að ofan, þ.e. ef eftirfarandi er uppfyllt: Efx1<x2,þá erf(x1)>f(x2),

Með öðrum orðum er f stranglega minnkandi ef fallgildið f(x) minnkar eftir því sem x stækkar og sérhvert stranglega minnkandi fall er því sér í lagi minnkandi. Á sama hátt og áður getur eftirfarandi umritun verið gagnleg: Efx2x1>0,þá erf(x2)f(x1)<0.
Fall f er stranglega minnkandi ef og aðeins ef fallið f er stranglega vaxandi.

Munurinn á minnkandi og stranglega minnkandi föllum er sá að ef f er minnkandi má fallgildið f(x) haldast jafnt eftir því sem x stækkar en ef f er stranglega minnkandi verður f(x) að minnka. Með öðrum orðum eru stranglega minnkandi föll eintæk á meðan minnkandi föll þurfa ekki að vera það. Myndirnar að neðan leiða þennan mun í ljós. Sú vinstri sýnir graf falls sem er minnkandi en ekki stranglega minnkandi en sú hægri sýnir graf falls sem er stranglega minnkandi.

Eins og fram kemur að ofan er sérhvert stranglega minnkandi fall f:XY eintækt. Ef það er átækt er það því andhverfanlegt og þá er andhverfan f1:YX líka stranglega minnkandi.

Dæmi:  

  • Sýnum að fallið f:RR; f(x)=2x+3 sé stranglega minnkandi. Látum því x1,x2R með x2x1>0 og athugum: f(x2)f(x1)=(2x2+3)(2x1+3)=2(x2x1)<0,
    því samkvæmt forsendu er (x2x1)>0. Þetta sýnir að f er stranglega minnkandi.
  • Sýnum að fallið g:RR; g(x)=x2 sé stranglega minnkandi. Látum því x1,x2R með x2x1>0 og athugum: g(x2)g(x1)=x22x21=(x2+x1)(x2x1)<0,
    því sviginn (x2+x1) er neikvæður þar sem x1,x2R og sviginn (x2x1) er jákvæður samkvæmt forsendu. Þetta sýnir að g er stranglega minnkandi.