Látum f:X→Y vera fall þar sem X og Y eru hlutmengi í mengi rauntalna. Sagt er að f sé einhalla ef það er vaxandi eða minnkandi og sagt er að f sé stranglega einhalla ef það er stranglega vaxandi eða stranglega minnkandi.
Sérhvert stranglega einhalla fall f:X→Y er eintækt. Ef það er átækt er það því andhverfanlegt og þá er andhverfan f−1:Y→X líka stranglega einhalla með sama halla og f (þ.e. f−1 er stranglega vaxandi ef f er stranglega vaxandi og f−1 er stranglega minnkandi ef f er stranglega minnkandi).
Vaxandi (fall)
Látum f:X→Y vera fall þar sem X og Y eru hlutmengi í mengi rauntalna. Sagt er að f sé vaxandi ef það varðveitir röðun stakanna í X, þ.e. ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt á menginu X: Efx1≤x2,þá erf(x1)≤f(x2).
Sagt er að f sé stranglega vaxandi ef sleppa má jafnaðarmerkjunum í skilyrðinu að ofan, þ.e. ef eftirfarandi er uppfyllt á menginu X: Efx1<x2,þá erf(x1)<f(x2),
Munurinn á vaxandi og stranglega vaxandi föllum er sá að ef f er vaxandi má fallgildið f(x) haldast jafnt eftir því sem x stækkar en ef f er stranglega vaxandi verður f(x) að stækka. Með öðrum orðum eru stranglega vaxandi föll eintæk á meðan vaxandi föll þurfa ekki að vera það. Myndirnar að neðan leiða þennan mun í ljós. Sú vinstri sýnir graf falls sem er vaxandi en ekki stranglega vaxandi en sú hægri sýnir graf falls sem er stranglega vaxandi.
Eins og kemur fram að ofan er sérhvert stranglega vaxandi fall f:X→Y eintækt. Ef það er átækt er það því andhverfanlegt og þá er andhverfan f−1:Y→X er líka stranglega vaxandi.
Dæmi:
- Sýnum að fallið f:R→R; f(x)=2x+3 sé stranglega vaxandi. Látum því x1,x2∈R með x2−x1>0 og athugum:
f(x2)−f(x1)=(2x2+3)−(2x1+3)=2(x2−x1)>0,því samkvæmt forsendu er (x2−x1)>0. Þetta sýnir að f er stranglega vaxandi.
- Sýnum að fallið g:R+→R; g(x)=x2 sé stranglega vaxandi. Látum því x1,x2∈R+ með x2−x1>0 og athugum:
g(x2)−g(x1)=x22−x21=(x2+x1)(x2−x1)>0,því sviginn (x2+x1) er jákvæður þar sem x1,x2∈R+ og sviginn (x2−x1) er jákvæður samkvæmt forsendu. Þetta sýnir að g er stranglega vaxandi.
Minnkandi (fall)
Látum f:X→Y vera fall þar sem X og Y eru hlutmengi í mengi rauntalna. Sagt er að f sé minnkandi ef það umhverfir röðun stakanna í X, þ.e. ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt á menginu X: Efx1≤x2,þá erf(x1)≥f(x2).
Sagt er að f sé stranglega minnkandi ef sleppa má jafnaðarmerkjunum í skilyrðinu að ofan, þ.e. ef eftirfarandi er uppfyllt: Efx1<x2,þá erf(x1)>f(x2),
Munurinn á minnkandi og stranglega minnkandi föllum er sá að ef f er minnkandi má fallgildið f(x) haldast jafnt eftir því sem x stækkar en ef f er stranglega minnkandi verður f(x) að minnka. Með öðrum orðum eru stranglega minnkandi föll eintæk á meðan minnkandi föll þurfa ekki að vera það. Myndirnar að neðan leiða þennan mun í ljós. Sú vinstri sýnir graf falls sem er minnkandi en ekki stranglega minnkandi en sú hægri sýnir graf falls sem er stranglega minnkandi.
Eins og fram kemur að ofan er sérhvert stranglega minnkandi fall f:X→Y eintækt. Ef það er átækt er það því andhverfanlegt og þá er andhverfan f−1:Y→X líka stranglega minnkandi.
Dæmi:
- Sýnum að fallið f:R→R; f(x)=−2x+3 sé stranglega minnkandi. Látum því x1,x2∈R með x2−x1>0 og athugum:
f(x2)−f(x1)=(−2x2+3)−(−2x1+3)=−2(x2−x1)<0,því samkvæmt forsendu er (x2−x1)>0. Þetta sýnir að f er stranglega minnkandi.
- Sýnum að fallið g:R−→R; g(x)=x2 sé stranglega minnkandi. Látum því x1,x2∈R− með x2−x1>0 og athugum:
g(x2)−g(x1)=x22−x21=(x2+x1)(x2−x1)<0,því sviginn (x2+x1) er neikvæður þar sem x1,x2∈R− og sviginn (x2−x1) er jákvæður samkvæmt forsendu. Þetta sýnir að g er stranglega minnkandi.