Processing math: 100%
Skip to Content

Bil

Hlutmengi I í mengi rauntalna kallast bil ef fyrir sérhver x,yI og zR þannig að x<z<y gildir að zI. Bil geta ýmist afmarkast af tveimur rauntölum, einni eða engri og þannig má skipta þeim í þrjá hópa.

Tveir endapunktar

Bil sem afmarkast af tveimur rauntölum a og b eru oft kölluð bil frá a til b. Þau samanstanda af öllum rauntölum sem liggja á milli a og b á talnalínunni og kallast a og b endapunktar þeirra. Endapunktarnir geta ýmist báðir, annar eða hvorugur tilheyrt bilunum og þannig fást fjórar ólíkar gerðir sem taldar eru upp hér að neðan.

Bilið frá a til b sem inniheldur báða endapunktana er táknað með [a,b] og það má rita á forminu [a,b]={xRaxb}.
Bilið frá a til b sem inniheldur vinstri endapunktinn en hægri ekki er táknað með [a,b[ og það má rita á forminu [a,b[={xRax<b}.
Bilið frá a til b sem inniheldur hægri endapunktinn en vinstri ekki er táknað með ]a,b] og það má rita á forminu ]a,b]={xRa<xb}.
Bilið frá a til b sem inniheldur hvorugan endapunktinn er táknað með ]a,b[ og það má rita á forminu ]a,b[={xRa<x<b}.

Einn endapunktur

Bil sem afmarkast af einni rauntölu a eru oft kölluð hálflínur og þau skiptast í tvo hópa: Annars vegar bil frá a til óendanlegs, sem samanstanda af öllum rauntölum sem liggja fyrir ofan a á talnalínunni, og hins vegar bil frá mínus óendanlegu til a, sem samanstanda af öllum rauntölum sem liggja fyrir neðan a.

Sem áður kallast a endapunktur bilanna. Hann getur ýmist tilheyrt bilunum eða ekki og þannig fást fjórar ólíkar gerðir sem taldar eru upp hér að neðan. Táknið er notað til að tákna óendanleikann.

Bilið frá a til óendanlegs sem inniheldur endapunktinn er táknað með [a,[ og það má rita á forminu [a,[={xRax}.
Bilið frá a til óendanlegs sem inniheldur endapunktinn ekki er táknað með ]a,[ og það má rita á forminu ]a,[={xRa<x}.
Bilið frá mínus óendanlegu til a sem inniheldur endapunktinn er táknað með ],a] og það má rita á forminu ],a]={xRxa}.
Bilið frá mínus óendanlegu til a sem inniheldur endapunktinn ekki er táknað með ],a[ og það má rita á forminu ],a[={xRx<a}.

Enginn endapunktur

Einu bilin sem hafa engan endapunkt eru annars vegar tóma mengið og hins vegar allt mengi rauntalna. Með biltáknmáli má rita mengi rauntalna á forminu R=],[.

Orðfæri

Vert er að minnast á eftirfarandi hugtök sem oft eru notuð þegar rætt er um bil:

  1. Bilin ]a,b[, ]a,[, ],a[ og R, sem innihalda engan endapunkta sinna, kallast opin.
  2. Bilin [a,b[ og ]a,b], sem innihalda annan endapunkta sinna en hinn ekki, kallast hálf-opin.
  3. Bilin [a,b], [a,[, ],a] og R, sem innihalda alla endapunkta sína, kallast lokuð.