Hlutmengi I í mengi rauntalna kallast bil ef fyrir sérhver x,y∈I og z∈R þannig að x<z<y gildir að z∈I. Bil geta ýmist afmarkast af tveimur rauntölum, einni eða engri og þannig má skipta þeim í þrjá hópa.
Tveir endapunktar
Bil sem afmarkast af tveimur rauntölum a og b eru oft kölluð bil frá a til b. Þau samanstanda af öllum rauntölum sem liggja á milli a og b á talnalínunni og kallast a og b endapunktar þeirra. Endapunktarnir geta ýmist báðir, annar eða hvorugur tilheyrt bilunum og þannig fást fjórar ólíkar gerðir sem taldar eru upp hér að neðan.
Bilið frá a til b sem inniheldur báða endapunktana er táknað með [a,b] og það má rita á forminu
[a,b]={x∈R∣a≤x≤b}. |
||
Bilið frá a til b sem inniheldur vinstri endapunktinn en hægri ekki er táknað með [a,b[ og það má rita á forminu
[a,b[={x∈R∣a≤x<b}. |
||
Bilið frá a til b sem inniheldur hægri endapunktinn en vinstri ekki er táknað með ]a,b] og það má rita á forminu
]a,b]={x∈R∣a<x≤b}. |
||
Bilið frá a til b sem inniheldur hvorugan endapunktinn er táknað með ]a,b[ og það má rita á forminu
]a,b[={x∈R∣a<x<b}. |
Einn endapunktur
Bil sem afmarkast af einni rauntölu a eru oft kölluð hálflínur og þau skiptast í tvo hópa: Annars vegar bil frá a til óendanlegs, sem samanstanda af öllum rauntölum sem liggja fyrir ofan a á talnalínunni, og hins vegar bil frá mínus óendanlegu til a, sem samanstanda af öllum rauntölum sem liggja fyrir neðan a.
Sem áður kallast a endapunktur bilanna. Hann getur ýmist tilheyrt bilunum eða ekki og þannig fást fjórar ólíkar gerðir sem taldar eru upp hér að neðan. Táknið ∞ er notað til að tákna óendanleikann.
Bilið frá a til óendanlegs sem inniheldur endapunktinn er táknað með [a,∞[ og það má rita á forminu
[a,∞[={x∈R∣a≤x}. |
||
Bilið frá a til óendanlegs sem inniheldur endapunktinn ekki er táknað með ]a,∞[ og það má rita á forminu
]a,∞[={x∈R∣a<x}. |
||
Bilið frá mínus óendanlegu til a sem inniheldur endapunktinn er táknað með ]−∞,a] og það má rita á forminu
]−∞,a]={x∈R∣x≤a}. |
||
Bilið frá mínus óendanlegu til a sem inniheldur endapunktinn ekki er táknað með ]−∞,a[ og það má rita á forminu
]−∞,a[={x∈R∣x<a}. |
Enginn endapunktur
Einu bilin sem hafa engan endapunkt eru annars vegar tóma mengið og hins vegar allt mengi rauntalna. Með biltáknmáli má rita mengi rauntalna á forminu R=]−∞,∞[.
Orðfæri
Vert er að minnast á eftirfarandi hugtök sem oft eru notuð þegar rætt er um bil:
- Bilin ]a,b[, ]a,∞[, ]−∞,a[ og R, sem innihalda engan endapunkta sinna, kallast opin.
- Bilin [a,b[ og ]a,b], sem innihalda annan endapunkta sinna en hinn ekki, kallast hálf-opin.
- Bilin [a,b], [a,∞[, ]−∞,a] og R, sem innihalda alla endapunkta sína, kallast lokuð.