Skip to Content

Setning:   Jafnan $x^2 = 2$ hefur enga ræða lausn.

Sönnun:   Við notum óbeina sönnun, þ.e. við gerum ráð fyrir að $x^2 = 2$ hafi ræða lausn og sýnum að það leiði til mótsagnar.

Gerum því ráð fyrir að jafnan $x^2 = 2$ hafi ræða lausn og ritum hana sem fullstytt brot $\frac{p}q$. Þá fæst: \[ \left(\frac{p}q\right)^2 = 2 \quad\text{þ.e.}\quad \frac{p^2}{q^2} = 2 \quad\text{þ.e.}\quad p^2 = 2 \cdot q^2. \] Þetta sýnir að $p^2$ er slétt tala og þess vegna er $p$ einnig slétt (því ef $p$ væri oddatala væri $p^2$ líka oddatala). Þar með er til heil tala $m$ þannig að $p = 2 \cdot m$. Setjum þetta inn í jöfnuna að ofan og fáum: \[ 2 \cdot q^2 = p^2 = (2 \cdot m)^2 = 4 \cdot m^2 \quad\text{þ.e.}\quad q^2 = 2 \cdot m^2. \] Þetta sýnir að $q^2$ er slétt tala og á sama hátt og áður er $q$ þá einnig slétt. Þar með eru bæði $p$ og $q$ sléttar tölur, sem er í mótsögn við að brotið $\frac{p}q$ sé fullstytt. Forsendan sem við gáfum okkur í upphafi, að jafnan $x^2 = 2$ hafi ræða lausn, fær því ekki staðist og þess vegna hefur hún enga ræða lausn.