Hugtakasafn

Setning:   Samanlagt gráðumál horna þríhyrnings er $180^\circ$.

Dæmi:   Í rétthyrndum þríhyrningi er eitt hornið $30^\circ$. Hversu stór eru hin hornin?

Lausn: Þar sem þríhyrningurinn er rétthyrndur, þá er eitt hornið $90^\circ$. Við vitum því stærðir tveggja horna og við látum $x$ tákna gráðumál þriðja hornsins. Samkvæmt setningunni er summa allra þriggja hornanna $180^\circ$ svo við fáum jöfnuna $$30^\circ + 90^\circ + x = 180^\circ.$$ Þegar þessi jafna er leyst fæst að $x=60^\circ$. Stærð hornanna sem spurt er um er því $60^\circ$ og $90^\circ$.

Sönnun:   Látum $l$ vera línuna í gegnum hornpunktinn $B$ sem er samsíða hliðinni $AC$. Þá fást þrjú horn með oddpunkt $B$ sem samanlagt mynda beint horn. Látum $P$ og $Q$ vera punkta á $l$ sem liggja hvor sínum megin við $B$ og þannig að $P$ sé innaní $\angle A$. Grænu hornin á myndinni, $\angle QBA$ og $\angle A$, eru innanverð víxlhorn við samsíða línur og því eins. Rauðu hornin á myndinni, $\angle CBP$ og $\angle C$, eru líka innanverð víxlhorn við samsíða línur og því einnig eins. Við höfum þá að $$|\angle A|+|\angle ABC|+|\angle C| = |\angle QBA|+|\angle ABC|+|\angle CBP| = |\angle QBP|=180^\circ.$$