Látum $f: X \to Y$ vera fall. Sagt er að $f$ sé takmarkað ef til er rauntala $C$ þannig að $\mid f(x) \mid \leq C$ fyrir öll $x \in X$. Fyrir raunfall $f$ gildir að $f$ er takmarkað ef og aðeins ef það er bæði takmarkað að neðan og takmarkað að ofan, þ.e. ef og aðeins ef það hefur bæði undirtölu og yfirtölu. Myndin að neðan sýnir graf raunfalls sem hefur undirtölu $U$ og yfirtölu $Y$ og því er það takmarkað.
Dæmi:
- Hornaföllin $\cos: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ og $\sin: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ eru takmörkuð því t.d. hafa þau undirtöluna $-1$ og yfirtöluna $1$.
- Fallið $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $\displaystyle{f(x) = \frac{5 x^4}{1 + x^4}}$ er takmarkað því t.d. hefur það undirtölu $0$ og yfirtölu $5$.
Takmarkað að neðan (fall)
Látum $f: X \to Y$ vera raunfall. Talan $L$ kallast undirtala fallsins $f$ ef fyrir öll $x \in X$ gildir að $f(x) \geq L$. Ef $f$ hefur a.m.k. eina undirtölu er sagt að það sé takmarkað að neðan. Myndin að neðan sýnir graf falls $f$ sem hefur undirtölu $L$ og er því takmarkað að neðan.
Dæmi:
- Hornaföllin $\cos: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ og $\sin: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ hafa t.d. $-1$ sem undirtölu því fyrir öll $x \in \mathbb{R}$ gildir að $\cos(x) \geq -1$ og $\sin(x) \geq -1$. Bæði föllin eru því takmörkuð að neðan.
- Annars stigs margliðan $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $f(x) = x^2 - 2 x + 7$ hefur t.d. $6$ sem undirtölu því með uppfyllingu fernings fæst fyrir öll $x \in \mathbb{R}$: \[ f(x) = x^2 - 2 x + 7 = (x - 1)^2 + 6 \geq 0 + 6 = 6. \] Margliðan er því takmörkuð að neðan.
- Fallið $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $\displaystyle{f(x) = \frac{5 x^4}{1 + x^4}}$ hefur augljóslega $0$ sem undirtölu því $5 x^4 \geq 0$ og $1 + x^4 \gt 0$ fyrir öll $x \in \mathbb{R}$. Því er það takmarkað að neðan.
Takmarkað að ofan (fall)
Látum $f: X \to Y$ vera raunfall. Talan $U$ kallast yfirtala fallsins $f$ ef fyrir öll $x \in X$ gildir að $f(x) \leq U$. Ef $f$ hefur a.m.k. eina yfirtölu er sagt að það sé takmarkað að ofan. Myndin að neðan sýnir graf falls $f$ sem hefur yfirtölu $U$ og því er það takmarkað að ofan.
Dæmi:
- Hornaföllin $\cos: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ og $\sin: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ hafa t.d. $1$ sem yfirtölu því fyrir öll $x$ úr $\mathbb{R}$ gildir að $\cos(x) \leq 1$ og $\sin(x) \leq 1$. Bæði föllin eru því takmörkuð að ofan.
- Annars stigs margliðan $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $f(x) = -x^2 + 2 x - 7$ hefur t.d. $-6$ sem yfirtölu því með uppfyllingu fernings fæst fyrir öll $x$ úr $\mathbb{R}$: \[ f(x) = -x^2 + 2 x - 7 = - (x-1)^2 - 6 \leq 0 - 6 = - 6. \] Margliðan er því takmörkuð að ofan.
- Fallið $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $\displaystyle{f(x) = \frac{5 x^4}{1 + x^4}}$ hefur t.d. $5$ sem yfirtölu því fyrir öll $x$ úr $\mathbb{R}$ fæst: \[ f(x) = \frac{5 x^4}{1 + x^4} \leq \frac{5 x^4}{x^4} = 5. \] Fallið er því takmarkað að ofan.