- Formynd
- Öfug mynd
Frummynd
Látum $f: X \to Y$ vera vörpun og $B$ vera hlutmengi í $Y$. Mengi þeirra staka úr $X$ sem $f$ varpar í stak úr $B$ er táknað með $f^{-1}(B)$ og kallast frummynd vörpunarinnar $f$ af menginu $B$. Hana má rita á forminu \[ f^{-1}(B) = \{x \in X \mid f(x) \in B\}. \]
Fyrir sérhvert $y \in B$ eru þau stök úr $X$ sem $f$ varpar í $y$ lausnir jöfnunnar $f(x) = y$. Frummyndina $f^{-1}(B)$ má því einnig skilgreina sem mengi allra lausna jöfnunnar $f(x) = y$ fyrir sérhvert $y \in B$ og þannig má rita hana á forminu \[ f^{-1}(B) = \{x \in X \mid \text{til er}\; y \in B \;\text{þ.a.}\; f(x) = y\}. \] Venn-myndin að neðan sýnir vörpunina $f: X \to Y$, hlutmengið $B$ í $Y$ og frummynd þess $f^{-1}(B)$.
Frummyndir af sammengjum, sniðmengjum og fyllimengjum fullnægja eftirfarandi reiknireglum, sem segja að fyrir sérhver hlutmengi $B_1$ og $B_2$ í $Y$ gildi:
- $f^{-1}(B_1 \cup B_2) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$.
- $f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)$.
- $f^{-1}(B_1^c) = (f^{-1}(B_1))^c$.
Ef $A$ er hlutmengi í $X$ og $B$ er hlutmengi í $Y$ fást jafnframt eftirfarandi reiknireglur um samspil mynda og frummynda:
- $A \subseteq f^{-1}(f(A))$.
- $f(f^{-1}(B)) \subseteq B$.
Dæmi: Látum $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$; $f(x) = 2 x$ og finnum frummynd $f$ af menginu $\{0,2,4\}$. Lausn jöfnunnar $2 x = 0$ er $x = 0$, lausn jöfnunnar $2 x = 2$ er $x = 1$ og lausn jöfnunnar $2 x = 4$ er $x = 2$. Því er \[ f^{-1}(\{0,2,4\}) = \{x \in \mathbb{N} \mid \text{til er}\; y \in \{0,2,4\} \;\text{þ.a.}\; 2 x = y\} = \{0,1,2\}. \]
Dæmi: Látum $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $h(x) = x^2$ og finnum frummynd $f$ af menginu $\{4,9\}$. Lausnir jöfnunnar $x^2 = 4$ eru $x = -2$ og $x = 2$ og lausnir jöfnunnar $x^2 = 9$ eru $x = -3$ og $x = 3$. Því er \[ f^{-1}(\{4,9\}) = \{x \in \mathbb{R} \mid \text{til er}\; y \in \{4,9\} \;\text{þ.a.}\; x^2 = y\} = \{-3,-2,2,3\}. \]