Skip to Content

Sérhver hálflína tilgreinir stefnu. Tvær hálflínur geta hinsvegar ýmist tilgreint sömu stefnuna eða ólíkar stefnur:

  • Allar ólíkar hálflínur með sama upphafspunkt tilgreina ólíkar stefnur og allar ósamsíða hálflínur tilgreina líka ólíkar stefnur.

  • Ef tvær hálflínur liggja á ólíkum samsíða línum þannig að hálflínurnar liggja sömu megin við línuna í gegnum upphafspunkt þeirra, þá hafa hálflínurnar sömu stefnu.

  • Ef ein hálflína liggur að öllu leiti á annarri hálflínu, þá skilgreina hálflínurnar sömu stefnuna.

Hálflína og gagnstæð hálflína hennar hafa gagnstæðar stefnur.

Látum $ABC$ vera þríhyrning. Ef $P$ er punktur á hliðarlínunni í gegnum $A$ og $B$ þannig að strikið $CP$ er hornrétt á hliðarlínuna, þá er strikið $CP$ kallað hæð hornpunktsins $C$ á hliðina $AB$.

Lengd striksins $CP$ er líka kölluð hæð þríhyrningsins frá hornpunktinum $C$ á hliðina $AB$ og er oft táknuð með bókstafnum $h$. Hæðina má líka tákna með $h_C$ ef við viljum tilgreina hornpunktinn. Punkturinn $P$ er kallaður fótpunktur hæðarinnar.

Sléttumynd

Hlutmengi af punktum í tiltekinni sléttu er oft kallað sléttumynd eða einfaldlega mynd.

Látum $\phi$ vera færslu á tiltekinni sléttu. Ef hlutfallið milli lengda strikanna $\phi(AB)$ og $AB$ er það sama fyrir öll strik $AB$, þá kallast færslan einslögunarfærsla. Einingarhlutfallið \[k=\frac{|\phi(AB)|}{|AB|}\] kallast þá kvarði einslögunarfærslunnar.

Óformlega má segja að einslögunarfærslur séu þær færslur sem varðveita „lögun“ en ekki endilega „stærð“. Ef $k \gt 1$, þá stækkar einslögunarfærslan allar myndir, en ef $k \lt 1$, þá minnkar hún allar myndir.

Látum $\rho$ vera færslu á tiltekinni sléttu og $M$ vera punkt í sléttunni. Færslan $\rho$ er snúningur með miðju í punktinum $M$ ef hún hefur eftirfarandi eiginleika:

  • punktarnir $A$ og $\rho(A)$ eru í sömu fjarlægð frá $M$ fyrir alla punkta $A$ í sléttunni,

  • hornin $\angle AM\rho(A)$ eru jafn stór fyrir alla punkta $A\neq M$.

Þessi skilyrði má orða þannig að $\rho$ heldur hring með miðju $M$ kyrrum og færir alla punkta á hringnum jafn mikið eftir boga hringsins.

Línuspeglun

Látum $\sigma$ vera færslu á tiltekinni sléttu og $l$ vera línu í sléttunni. Ef línan $l$ er miðþverill striksins $A\sigma(A)$ fyrir alla punkta $A$ í sléttunni sem ekki eru á línunni $l$, þá er $\sigma$ speglun um línuna $l$. Línan $l$ kallast þá spegillína speglunarinnar og punkturinn $\sigma(A)$ kallast spegilmynd $A$.

Færsla er línuspeglun ef hún er speglun um einhverja línu.

Hliðrun er færsla á tiltekinni sléttu sem færir alla punkta jafn langt og í sömu stefnu.

Með öðrum orðum, færsla $\tau$ er hliðrun ef hún hefur eftirfarandi tvo eiginleika:

  • fjarlægðin milli $A$ og $\tau(A)$ er sú sama fyrir alla punkta $A$,

  • fyrir alla punkta $A$ tilgreina hálflínurnar frá $A$ í gegnum $\tau(A)$ sömu stefnuna.

Hlutlausa færslan telst líka til hliðrana; hún hefur hinsvegar enga tiltekna stefnu.

Færsla

Við þurfum oft að vinna með sléttumyndir. Þá viljum við gjarnan geta fært þær til, minnkað þær og stækkað. Slíkum aðgerðum er lýst með rúmfræðilegum færslum. Færsla á tiltekinni sléttu úthlutar sérhverjum punkti sléttunnar einhverjum punkti í sömu sléttu; með öðrum orðum, þá færir hún punkta sléttunnar til. Færslur uppfylla tvö skilyrði:

  • punktar í tiltekinni röð á sömu línu færast á punkta í sömu röð á einhverri línu,

  • strik sem eru jafn löng færast á strik sem eru líka jafn löng.

Færslur eru oft táknaðar með grískum lágstöfum á borð við $\phi$, $\lambda$, $\rho$, $\sigma$ og $\tau$. Áhrif tiltekinnar færslu $\phi$ á punkt $A$ eru táknuð með $\phi(A)$ (lesið: $\phi$ af $A$).

Horn sem er grannhorn einhvers af hornum þríhyrnings kallast ytra horn við þríhyrninginn. Horn þríhyrningsins eru þá stundum kölluð innri horn þríhyrningsins. Oft er vísað í þau tvö af innri hornum þríhyrnings sem ekki eru grannhorn tiltekins ytra horns sem fjarlægu innri horn þríhyrningsins.

Setning:   Í þríhyrningi hefur ein hliðin lengd $g$ og hæðin á þessa hlið hefur lengd $h$. Flatarmál þríhyrningsins $F$ er þá gefið með jöfnunni \[F=\tfrac{1}{2}gh.\]

Í því samhengi sem setningin lýsir þá er hliðin af lengd $g$ stundum kölluð grunnhlið þríhyrningsins.

Syndicate content