Hugtakasafn

Dæmi:   Mengið $A = \{1,2,5,6\}$ er hlutmengi í menginu $B = \{1,2,3,4,5,6\}$, þ.e. $A \subset B$, því sérhvert stak í $A$ er líka stak í $B$.

Dæmi:   Mengið $\mathbb{N}$ er hlutmengi í $\mathbb{Z}$ því sérhver náttúruleg tala er líka heil tala, $\mathbb{Z}$ er hlutmengi í $\mathbb{Q}$ því sérhver heil tala er líka ræð tala og $\mathbb{Q}$ er hlutmengi í $\mathbb{R}$ því sérhver ræð tala er líka rauntala. Með öðrum orðum gildir að $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$. Venn-myndin hér að neðan sýnir innbyrðis afstöðu þessara rauntalnamengja.

Dæmi:   Látum $A$ vera mengi. Sérhvert stak í tóma menginu er líka stak í $A$, þ.e. $\varnothing \subset A$, því tóma mengið hefur ekkert stak. Einnig gildir augljóslega að sérhvert stak í $A$ er líka stak í $A$, svo $A \subset A$.

Dæmi:   Mengið $A = \{1,2,5,6\}$ er eiginlegt hlutmengi í menginu $B = \{1,2,3,4,5,6\}$, þ.e. $A \subsetneqq B$, því $A$ er hlutmengi í $B$ og auk þess eru $A$ og $B$ ekki sama mengið. Í þessu dæmi er þess vegna bæði rétt að segja að $A \subset B$ og að $A \subsetneqq B$, eini munurinn er sá að seinni rithátturinn gefur meiri upplýsingar en sá fyrri.

Dæmi:   Við vitum þegar samkvæmt dæmi að ofan að $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$. Einnig vitum við að $-1$ er heil tala en ekki náttúruleg tala, svo $\mathbb{N}$ og $\mathbb{Z}$ eru ekki sama mengið og því getum við líka sagt að $\mathbb{N} \subsetneqq \mathbb{Z}$.

Sömuleiðis vitum við þegar að $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$. Einnig vitum við að $\frac{1}2$ er ræð tala en ekki heil tala, svo $\mathbb{Z}$ og $\mathbb{Q}$ eru ekki sama mengið og því getum við líka sagt að $\mathbb{Z} \subsetneqq \mathbb{Q}$.

Loks vitum við þegar að $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$. Einnig vitum við að $\sqrt{2}$ er óræð tala, svo $\mathbb{Q}$ og $\mathbb{R}$ eru ekki sama mengið og því er $\mathbb{Q} \subsetneqq \mathbb{R}$.

Með öðrum orðum getum við sagt að $\mathbb{N} \subsetneqq \mathbb{Z} \subsetneqq \mathbb{Q} \subsetneqq \mathbb{R}$.

Dæmi:   Um öll ekki-tóm mengi $A$ gildir að $\varnothing \subsetneqq A$ því þá er til stak í $A$ sem er ekki í $\varnothing$. Hins vegar er $A$ ekki eiginlegt hlutmengi í $A$.

Dæmi:   Nota má opnu yrðingarnar $p(x)$: „$x$ er slétt tala“, $q(x)$: „$x^2 \leq 16$“ og $r(x)$: „$x^4 = 81$“ til að smíða ný hlutmengi í $\mathbb{Z}$. Þau eru:

• $\{x \in \mathbb{Z} \mid x \;\text{er slétt tala} \} = \{\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots\}$.
• $\{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \leq 16\} = \{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}$.
• $\{x \in \mathbb{Z} \mid x^4 = 81\} = \{-3,3\}$.