Skip to Content

Látum $n$ vera náttúrulega tölu og $X, X_1, X_2, \ldots, X_n$ vera mengi. Vörpun af gerðinni \[ \odot: X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n \to X \] kallast reikniaðgerð á $X$ og talan $n$ kallast stæðafjöldi hennar. Þegar $n = 1$ er sagt að $\odot$ sé einstæð reikniaðgerð á $X$ og þegar $n = 2$ er sagt að $\odot$ sé tvístæð reikniaðgerð á $X$. Þegar $\odot$ er tvístæð er gildi hennar í tvenndinni $(x, y)$ yfirleitt táknað með $x \odot y$ í stað $\odot(x, y)$.

Dæmi:   Fyrir sérhverja náttúrulega tölu $n \geq 1$ er veldishafning einstæð reikniaðgerð á mengi rauntalna sem úthlutar sérhverri rauntölu $x$ rauntölunni $x^n$.

Dæmi:   Samlagning er tvístæð reikniaðgerð á mengi rauntalna sem úthlutar sérhverjum rauntölum $x$ og $y$ rauntölunni $x + y$.

Dæmi:   Margföldun er tvístæð reikniaðgerð á mengi rauntalna sem úthlutar sérhverjum rauntölum $x$ og $y$ rauntölunni $x \cdot y$.

Hlutleysa (reikniaðgerðar)

Látum $\odot: X \;\times\; X \to X$ vera reikniaðgerð á $X$. Sagt er að stak $e \in X$ sé hlutleysa reikniaðgerðarinnar $\odot$ ef fyrir öll $x \in X$ gildir að \[ x \odot e = x \quad \text{og} \quad e \odot x = x. \] Ef hlutleysan er til ákvarðast hún ótvírætt af þessum skilyrðum og sérhver reikniaðgerð hefur því í mesta lagi eina hlutleysu.

Dæmi:  

  • Samlagning á mengi rauntalna hefur hlutleysuna $0$ því fyrir sérhvert $x \in \mathbb{R}$ gildir að \[ x + 0 = x \quad \text{og} \quad 0 + x = x. \]
  • Margföldun á mengi rauntalna hefur hlutleysuna $1$ því fyrir sérhvert $x \in \mathbb{R}$ gildir að \[ x \cdot 1 = x \quad \text{og} \quad 1 \cdot x = x. \]
  • Tóma mengið er hlutleysa fyrir sammengi því fyrir öll mengi $A$ gildir að \[ A \cup \varnothing = A \quad \text{og} \quad \varnothing \cup A = A. \]
  • Samsemdarvörpunin er hlutleysa fyrir samskeytingu því fyrir allar varpanir $f: X \to Y$ gildir að \[ f \circ \mathrm{id}_X = f \quad \text{og} \quad \mathrm{id}_Y \circ f = f. \]

Umhverfa (reikniaðgerðar)

Látum $\odot: X \,\times\, X \to X$ vera reikniaðgerð á $X$ sem hefur hlutleysu $e$. Sagt er að stak $x \in X$ eigi sér umhverfu með tilliti til aðgerðarinnar $\odot$ ef til er stak $y \in X$ þannig að \[ x \odot y = e \quad \text{og} \quad y \odot x = e. \] Ef $\odot$ er tengin ákvarðast umhverfan ótvírætt af þessum skilyrðum og sérhvert stak tenginnar reikniaðgerðar hefur því í mesta lagi eina umhverfu.

Ef reikniaðgerðin sem um ræðir er samlagning, þá er umhverfa staksins $x$ yfirleitt táknuð með $-x$. Ef reikniaðgerðin er hins vegar margföldun, þá er umhverfa staksins $x$ yfirleitt táknuð með $x^{-1}$ eða $1/x$.

Dæmi: