- Tölugildi
Algildi (rauntölu)
Algildi rauntölunnar $x$ er táknað með $|x|$ og skilgreint með jöfnunni \[ |x| = \begin{cases} x & \text{ef} \; x \geq 0,\\ - x & \text{ef} \; x \lt 0. \end{cases} \] Með öðrum orðum er algildi rauntölunnar $x$ skilgreint sem talan sjálf ef $x$ er jákvæð eða $0$, en ef $x$ er neikvæð er algildi hennar skilgreint sem jákvæða talan $- x$. Algildi $x$ er því alltaf jákvætt eða $0$ og óformlega má segja að það lýsi gildi tölunnar $x$ án tillitis til formerkis hennar.
Dæmi:
- Talan $87$ er jákvæð og hefur því algildi $| 87 | = 87$.
- Talan $-3$ er neikvæð og hefur því algildi $| -3 | = - (-3) = 3$.
- Tölurnar $145$ og $- 145$ hafa sama algildi, því þar sem $145$ er jákvæð er $| 145 | = 145$ og þar sem $- 145$ er neikvæð er $| - 145 | = - (-145) = 145$. Almennt hafa $x$ og $- x$ sama algildi fyrir sérhverja rauntölu $x$, þ.e. $| x | = | - x |$ fyrir öll $x \in \mathbb{R}$.
Algildi fullnægja eftirfarandi reglum, sem segja að fyrir allar rauntölur $a$ og $b$ gildi:
- $| a | = \sqrt{a^2}$.
- $| a \cdot b | = | a | \cdot | b |$.
- $\displaystyle{ \left| \frac{a}b \right| = \frac{|a|}{|b|} \;\text{ef}\; b \neq 0}$.
- $| a + b | \leq | a | + | b |$ (Þríhyrningsójafnan).
- $| | a | - | b | | \leq | a - b |$ (Þríhyrningsójafnan).
Algildi sem fjarlægð
Algildi rauntölunnar $x$ má túlka sem fjarlægð $x$ frá tölunni $0$ á talnalínunni. Myndin að neðan leiðir þetta í ljós, en þar er skipt í tvö tilvik eftir því hvorum megin við $0$ talan $x$ liggur.
Ef $a \geq 0$ er gefin rauntala má nota þessa fjarlægðartúlkun til að leysa ójöfnur af gerðinni $| x | \lt a$ og $| x | \gt a$ á talnalínunni. Í fyrri ójöfnunni felst verkefnið í að finna þær rauntölur $x$ þannig að fjarlægð $x$ frá $0$ sé minni en $a$ og í seinni ójöfnunni þarf að finna þær tölur $x$ þannig að fjarlægð $x$ frá $0$ sé meiri en $a$. Þetta gefur með hjálp myndanna:
| $| x | \lt a \,\Leftrightarrow \, -a \lt x \lt a$ | |
| $| x | \gt a \,\Leftrightarrow\, x \lt -a \;\;\text{eða}\;\; x \gt a$ |
Dæmi:
- Samkvæmt efri línunni í töflunni að ofan fæst: \[ | x | \lt 5 \;\Leftrightarrow\; -5 \lt x \lt 5. \]
- Samkvæmt neðri línunni fæst: \[ | x | \gt 23 \;\Leftrightarrow\; x \lt -23 \;\;\text{eða}\;\; x \gt 23. \]
Algildi mismunar sem fjarlægð
Almennar má túlka algildi mismunar tveggja rauntalna $x$ og $y$ sem fjarlægðina milli þeirra á talnalínunni. Myndin að neðan leiðir þetta í ljós, en þar er skipt í tvö tilvik eftir því hvor talnanna er stærri.
Ef $a \geq 0$ og $y \in \mathbb{R}$ eru gefnar rauntölur má nota þessa fjarlægðartúlkun til að leysa ójöfnur af gerðinni $| x - y| \lt a$ og $| x - y| \gt a$ á talnalínunni. Í fyrri ójöfnunni felst verkefnið í að finna þær rauntölur $x$ þannig að fjarlægð $x$ frá $y$ sé minni en $a$ og í seinni ójöfnunni þarf að finna þær tölur $x$ þannig að fjarlægð $x$ frá $y$ sé meiri en $a$. Þetta gefur með hjálp myndanna:
| $| x - y | \lt a \,\Leftrightarrow \, y - a \lt x \lt y + a$ | |
| $| x - y | \gt a \,\Leftrightarrow\, x \lt y - a \;\;\text{eða}\;\; x \gt y + a$ |
Dæmi:
- Samkvæmt efri línunni í töflunni að ofan fæst: \[ | x - 2 | \lt 1 \;\Leftrightarrow\; 2 - 1 \lt x \lt 2 + 1 \;\Leftrightarrow\; 1 \lt x \lt 3. \]
- Samkvæmt neðri línunni fæst: \[ | x - 5| \gt 11 \;\Leftrightarrow\; x \lt 5 - 11 \;\;\text{eða}\;\; x \gt 5 + 11 \;\Leftrightarrow\; x \lt -6 \;\text{eða}\; x \gt 16. \]
Algildisfallið
Fallið $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $f(x) = |x|$, sem úthlutar sérhverri rauntölu algildi sínu, kallast algildisfallið og myndin að neðan sýnir graf þess. Eins og grafið endurspeglar er $f$ stranglega minnkandi fyrir $x \leq 0$ og stranglega vaxandi fyrir $x \geq 0$. Fyrir sérhvert $x \in \mathbb{R}$ gildir jafnframt að \[ f(-x) = |-x| = |x| = f(x), \] sem sýnir í fyrsta lagi að algildisfallið sé jafnstætt og í öðru lagi að það sé ekki eintækt og þar með ekki gagntækt.