Hugtakasafn

Við höfum áður séð hvernig náttúrulegu tölunum er komið fyrir á talnalínunni. Myndin að neðan sýnir hvernig nokkrar af fyrstu náttúrulegu tölunum raða sér á hana:

Öllum brotum er líka hægt að koma fyrir á talnalínunni, og hér verður sýnt hvernig það er gert.

Látum $b$ tákna einhverja tiltekna náttúrulega tölu, aðra en $0$. Skiptum sérhverju striki á talnalínunni milli tveggja samliggjandi náttúrulegra talna í $b$ jafna hluta, þ.e. í $b$ jafn löng „hlutastrik“, eins og sýnt er á myndinni að neðan.

Rifjum upp að sérhvert strik milli tveggja samliggjandi náttúrulegra talna er lengdareining talnalínunnar. Þar með hefur sérhvert hlutastrik lengdina $\frac1b$.

Látum nú $a$ vera einhverja tiltekna náttúrulega tölu. Þá komum við almenna brotinu $\frac{a}b$ fyrir á talnalínunni á eftirfarandi hátt:

Við byrjum í tölunni $0$ á talnalínunni, tökum $a$ skref af lengdinni $\frac1b$ eftir henni og setjum brotið $\frac{a}b$ á punktinn sem við lendum á.

Á mynd getum við séð staðsetningu brotsins $\frac{a}b$ fyrir okkur svona:

Umfjöllunina hér að ofan getum við tekið saman í eftirfarandi skilgreiningu:

Til að varpa frekara ljósi á uppbyggingu talnalínunnar skulum við enda á að skoða strikið milli tölunnar $0$ og brotsins $\frac{a}b$, þ.e. bláa strikið á myndinni að neðan.

Tökum eftir því að bláa strikið skiptist í $a$ minni strik, sem hvert hefur lengdina $\frac1b$, svo lengd bláa striksins er greinilega $\frac{a}b$. Þess vegna getum við sagt:

Þetta er sá eiginleiki sem einkennir talnalínuna einna helst, því hann á bæði við um staðsetningu náttúrulegra talna og brota á henni.

Dæmi:   Skoðum hvernig nokkrum brotum með nefnarann $3$ er komið fyrir á talnalínunni. Við byrjum á að skipta öllum strikum milli tveggja samliggjandi náttúrulegra talna í $3$ jafna hluta. Þannig skiptum við talnalínunni í minni búta, sem hver hefur lengdina $\frac13$.

Núna setjum við brotið $\frac03$ á sama stað og töluna $0$ á talnalínunni, brotið $\frac13$ setjum við á þann punkt talnalínunnar sem fæst með því að fara eitt skref af lengdinni $\frac13$ frá $0$, brotið $\frac23$ setjum við á punktinn sem fæst með því að fara tvö skref af lengdinni $\frac13$ frá $0$, o.s.frv. Eftir það lítur talnalínan svona út:

Dæmi:   Skoðum hvernig nokkrum brotum með nefnarann $4$ er komið fyrir á talnalínunni. Við byrjum á að skipta öllum strikum milli tveggja náttúrulegra talna í $4$ jafna hluta. Þannig skiptum við talnalínunni í minni búta, sem hver hefur lengdina $\frac14$.

Núna setjum við brotið $\frac04$ á sama stað og töluna $0$ á talnalínunni, brotið $\frac14$ setjum við á þann punkt talnalínunnar sem fæst með því að fara eitt skref af lengdinni $\frac14$ frá $0$, brotið $\frac24$ setjum við á punktinn sem fæst með því að fara tvö skref af lengdinni $\frac14$ frá $0$, o.s.frv. Eftir það lítur talnalínan svona út: