Hugtakasafn

Látum $l$ og $m$ vera tvær ólíkar línur og $n$ vera þriðju línuna sem sker hinar tvær í tveimur ólíkum punktum. Látum $O$ vera skurðpunkt $n$ við $l$ og $P$ vera skurðpunkt $n$ við $m$.

Þá myndast átta eiginleg horn sem hafa annan arm sinn á línunni $n$ og hinn arm sinn á línunum $l$ eða $m$. Þessi horn hafa oddpunkt $O$ eða $P$. Tvö þessara horna eru sögð vera:

• einslæg ef þau liggja sömum megin við línuna $n$ og armur annars hornsins liggur á armi hins,

• utanverð víxlhorn ef þau liggja hvort sínum megin við línuna $n$ og hafa engan sameiginlegan punkt,

• innanverð víxlhorn ef þau liggja hvort sínum megin við línuna $n$ og strikið $OP$ liggur á örmum beggja hornanna.

Það eru fjögur pör af einslægum hornum, tvö pör af utanverðum víxlhornum og tvö pör af innanverðum víxlhornum.

Setningin um einslæg horn

Einhver mikilvægasta setning í evklíðskri rúmfræði er eftirfarandi niðurstaða sem oft er kölluð setningin um einslæg horn.

Þar sem gagnstæð horn eru jafn stór, þá má einnig orða setninguna um einslæg horn fyrir innanverð eða utanverð víxlhorn. Þannig fæst að:

• Ef ólíkar línur eru samsíða, þá eru utanverð víxlhorn við þær eins.

• Ef einhver utanverð víxlhorn við ólíkar línur eru eins, þá eru línurnar samsíða.

• Ef ólíkar línur eru samsíða, þá eru innanverð víxlhorn við þær eins.

• Ef einhver innanverð víxlhorn við ólíkar línur eru eins, þá eru línurnar samsíða.

Setninguna um einslæg horn má t.d. nota til að sanna að hornsasumma þríhyrnings er $180^\circ$.