Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to Content

Látum l og m vera tvær ólíkar línur og n vera þriðju línuna sem sker hinar tvær í tveimur ólíkum punktum. Látum O vera skurðpunkt n við l og P vera skurðpunkt n við m.

Þá myndast átta eiginleg horn sem hafa annan arm sinn á línunni n og hinn arm sinn á línunum l eða m. Þessi horn hafa oddpunkt O eða P. Tvö þessara horna eru sögð vera:

  • einslæg ef þau liggja sömum megin við línuna n og armur annars hornsins liggur á armi hins,

  • utanverð víxlhorn ef þau liggja hvort sínum megin við línuna n og hafa engan sameiginlegan punkt,

  • innanverð víxlhorn ef þau liggja hvort sínum megin við línuna n og strikið OP liggur á örmum beggja hornanna.

Það eru fjögur pör af einslægum hornum, tvö pör af utanverðum víxlhornum og tvö pör af innanverðum víxlhornum.

Dæmi:   Á myndinni sést hvernig línan n sker línurnar l og m í punktunum O og P.

  • Rauðu hornin á myndinni eru einslæg horn og grænu hornin eru líka einslæg horn.

  • Rauða hornið með oddpunkt í O er utanvert víxlhorn við græna hornið með oddpunkt í P.

  • Græna hornið með oddpunkt í O er innanvert víxlhorn við rauða hornið með oddpunkt í P.

Setningin um einslæg horn

Einhver mikilvægasta setning í evklíðskri rúmfræði er eftirfarandi niðurstaða sem oft er kölluð setningin um einslæg horn.

Setning:   Látum l og m vera ólíkar línur.

  • Ef línurnar l og m eru samsíða, þá eru öll einslæg horn við þær jafn stór.

  • Ef einhver einslæg horn við línurnar l og m eru eins, þá eru línurnar samsíða.

Þar sem gagnstæð horn eru jafn stór, þá má einnig orða setninguna um einslæg horn fyrir innanverð eða utanverð víxlhorn. Þannig fæst að:

  • Ef ólíkar línur eru samsíða, þá eru utanverð víxlhorn við þær eins.

  • Ef einhver utanverð víxlhorn við ólíkar línur eru eins, þá eru línurnar samsíða.

  • Ef ólíkar línur eru samsíða, þá eru innanverð víxlhorn við þær eins.

  • Ef einhver innanverð víxlhorn við ólíkar línur eru eins, þá eru línurnar samsíða.

Setninguna um einslæg horn má t.d. nota til að sanna að hornsasumma þríhyrnings er 180.