Yrðingaaðgerðir

08/2010 - Einar Bjarki Gunnarsson

Út frá gefnum yrðingum og opnum yrðingum má mynda nýjar yrðingar og opnar yrðingar á ýmsa vegu. Hér að neðan er samantekt á algengustu leiðunum til að gera það.

Neitun

Fyrir sérhverja yrðingu $p$ er $\neg p$ (lesið: „ekki $p$ “) sú yrðing sem fæst með því að neita yrðingunni $p$ . Yrðingin $\neg p$ hefur þess vegna alltaf öfugt sanngildi við yrðinguna $p$ . Þessari staðreynd má lýsa með eftirfarandi töflu, sem sýnir sanngildi $\neg p$ eftir ólíkum sanngildum $p$ :

$p$	$\neg p$
$1$	$0$
$0$	$1$

Dæmi:

Látum $p$ tákna yrðinguna „Reykjavík er höfuðborg Íslands“. Þá táknar $\neg p$ yrðinguna „Reykjavík er ekki höfuðborg Íslands“, sem er ósönn.
Látum $p$ tákna yrðinguna „Sólin er reikistjarna“. Þá táknar $\neg p$ yrðinguna „Sólin er ekki reikistjarna“, sem er sönn.

Fyrir sérhverja opna yrðingu $p(x)$ er $\neg p(x)$ (lesið: „ekki $p(x)$ “) sú opna yrðing sem fæst með því að neita $p(x)$ .

Ef $A$ er mengi og $p(x)$ hefur lausnamengið $P$ í $A$ , þá er lausnamengi $\neg p(x)$ í $A$ gefið með mengjamun $A$ og $P$ , þ.e.

$\{ x \in A \mid \neg p(x) \} = A \setminus P.$

Dæmi:

Látum $p(x)$ tákna opnu yrðinguna „ $x$ er slétt tala“. Þá táknar $\neg p(x)$ opnu yrðinguna „ $x$ er ekki slétt tala“. Lausnamengi $p(x)$ í menginu $\mathbb{N}$ er $P = \{0,2,4,6,\ldots\}$ , svo lausnamengi $\neg p(x)$ í $\mathbb{N}$ er $\mathbb{N} \setminus P = \{1,3,5,7,\ldots\}.$

Og

Fyrir sérhverjar yrðingar $p$ og $q$ er $p \wedge q$ (lesið: „ $p$ og $q$ “) sú yrðing sem segir að $p$ og $q$ séu báðar sannar. Yrðingin $p \wedge q$ er þess vegna sönn þegar yrðingarnar $p$ og $q$ eru báðar sannar, en annars er hún ósönn. Þessu má lýsa með eftirfarandi töflu, sem sýnir sanngildi yrðingarinnar $p \wedge q$ eftir ólíkum sanngildum $p$ annars vegar og $q$ hins vegar:

$p$	$q$	$p \wedge q$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

Dæmi:

Látum $p$ tákna yrðinguna „Tveir plús tveir eru fjórir“ og $q$ tákna yrðinguna „Reykjavík er höfuðborg Íslands“. Þá er $p \wedge q$ yrðingin „Tveir plús tveir eru fjórir og Reykjavík er höfuðborg Íslands“, sem er sönn því $p$ og $q$ eru báðar sannar.
Látum $p$ tákna yrðinguna „Jörðin er stærri en tunglið “ og $q$ tákna yrðinguna „Sólin er reikistjarna“. Þá er $p \wedge q$ yrðingin „Jörðin er stærri en tunglið og sólin er reikistjarna“, sem er ósönn því $q$ er ósönn.

Fyrir sérhverjar opnar yrðingar $p(x)$ og $q(x)$ er $p(x) \wedge q(x)$ (lesið: „ $p(x)$ og $q(x)$ “) sú opna yrðing sem segir að $p(x)$ og $q(x)$ séu báðar sannar.

Ef $A$ er mengi og opnu yrðingarnar $p(x)$ og $q(x)$ hafa lausnamengi $P$ og $Q$ í $A$ , þá er lausnamengi $p(x) \wedge q(x)$ í $A$ gefið með sniðmengi þeirra, þ.e.

$\{ x \in A \mid p(x) \wedge q(x) \} = P \cap Q.$

Dæmi:

Látum $p(x)$ tákna opnu yrðinguna „ $x$ er slétt tala“ og $q(x)$ tákna opnu yrðinguna „ $3$ gengur upp í $x$ “. Þá táknar $p(x) \wedge q(x)$ opnu yrðinguna „ $x$ er slétt tala og $3$ gengur upp í hana“. Lausnamengi $p(x)$ í menginu $\mathbb{N}$ er $P = \{0,2,4,6,\ldots\}$ , lausnamengi $q(x)$ í $\mathbb{N}$ er $Q = \{0,3,6,9,\ldots\}$ , svo lausnamengi $p(x) \wedge q(x)$ í $\mathbb{N}$ er $P \cap Q = \{0,6,12,18,24,\ldots\}.$

Eða

Fyrir sérhverjar yrðingar $p$ og $q$ er $p \vee q$ (lesið: „ $p$ eða $q$ “) sú yrðing sem segir að a.m.k. önnur yrðinganna $p$ og $q$ sé sönn. Yrðingin $p \vee q$ er þess vegna ósönn þegar yrðingarnar $p$ og $q$ eru báðar ósannar, en annars er hún sönn. Þessari staðreynd má lýsa með töflunni að neðan, sem sýnir sanngildi $p \vee q$ eftir ólíkum sanngildum $p$ annars vegar og $q$ hins vegar.

$p$	$q$	$p \vee q$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

Dæmi:

Látum $p$ tákna yrðinguna „Banani er ávöxtur“ og $q$ tákna yrðinguna „Esjan er jökull“. Þá er $p \vee q$ yrðingin „Banani er ávöxtur eða Esjan er jökull“, sem er sönn því $p$ er sönn.
Látum $p$ tákna yrðinguna „Jörðin er flöt“ og $q$ tákna yrðinguna „Surtsey er heimsálfa“. Þá er $p \vee q$ yrðingin „Jörðin er flöt eða Surtsey er heimsálfa“, sem er ósönn því $p$ og $q$ eru báðar ósannar.

Fyrir gefnar opnar yrðingar $p(x)$ og $q(x)$ er $p(x) \vee q(x)$ (lesið: „ $p(x)$ eða $q(x)$ “) sú opna yrðing sem segir að a.m.k. önnur af $p(x)$ og $q(x)$ sé sönn.

Ef $A$ er mengi og $p(x)$ og $q(x)$ hafa lausnamengi $P$ og $Q$ í $A$ , þá er lausnamengi $p(x) \vee q(x)$ í $A$ gefið með sammengi þeirra, þ.e.

$\{ x \in A \mid p(x) \vee q(x) \} = P \cup Q.$

Dæmi:

Látum $p(x)$ tákna opnu yrðinguna „ $x$ er slétt tala“ og $q(x)$ tákna opnu yrðinguna „ $x$ er oddatala“. Þá táknar $p(x) \vee q(x)$ opnu yrðinguna „ $x$ er slétt tala eða $x$ er oddatala“. Lausnamengi $p(x)$ í menginu $\mathbb{N}$ er $P = \{0,2,4,6,\ldots\}$ , lausnamengi $q(x)$ í $\mathbb{N}$ er $Q = \{1,3,5,7,\ldots\}$ , svo lausnamengi $p(x) \vee q(x)$ í $\mathbb{N}$ er $P \cup Q = \mathbb{N}.$

Reikniaðgerðir

Hugtakasafn

Yrðingaaðgerðir

Ekki

Og

Eða