Heil veldi
Látum $a$ vera rauntölu og $n \geq 1$ vera náttúrulega tölu. Að hefja $a$ í $n$-ta veldi felst í því að margfalda töluna $a$ við sjálfa sig $n$-sinnum og þessi aðgerð er táknuð með $a^n$. Með öðrum orðum er \[ a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a \;\; (n\, \text{sinnum}). \] Talan $a$ kallast veldisstofn veldisins $a^n$ og talan $n$ kallast veldisvísir þess.
Fyrir sérhverja rauntölu $a$ kallast talan $a^2$ ferningur tölunnar $a$.
Dæmi:
- $6^4 = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 \cdot 6 = 216 \cdot 6 = 1296$.
- $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32$.
Ræð veldi
Þegar $a$ er rauntala þannig að $a \neq 0$ má útvíkka veldishafninguna að ofan þannig að hægt sé að hefja $a$ í veldi af öllum heilum tölum. Þetta er gert með því að skilgreina núllta veldi með \[ a^0 = 1, \] og neikvæð veldi með \[ a^{-n} = \frac1{a^n}, \] fyrir sérhverja náttúrulega tölu $n \geq 1$.
Dæmi:
- $3^0 = 1$, $\displaystyle \left( \frac{14}3 \right)^0=1$ og $\pi^0 = 1$.
- $\displaystyle{ 6^{-4} = \frac1{6^4} = \frac1{1296} }$.
- $\displaystyle{ 2^{-5} = \frac1{2^5} = \frac1{32} }$.
Þegar $a$ er jákvæð rauntala má síðan útvíkka skilgreiningarnar á heilum veldum að ofan þannig að hægt sé að hefja $a$ í veldi af öllum ræðum tölum. Látum $r$ vera ræða tölu og skrifum $r = p / q$ þar sem $p$ og $q$ eru heilar tölur og $q \geq 1$. Þá er veldið $a^r$ skilgreint með \[ a^r = (\sqrt[q]{a})^p. \]
Dæmi:
- $125^{2/3} = (\sqrt[3]{125})^2 = 5^2 = 25$.
- $243^{-3/5} = (\sqrt[5]{243})^{-3} = 3^{-3} = \frac1{3^3} = \frac1{27}$.
- $16^{7/4} = (\sqrt[4]{16})^7 = 2^7 = 128$.
Þegar $a$ er jákvæð rauntala má loks útvíkka skilgreininguna á ræðum veldum þannig að hægt sé að hefja $a$ í veldi af öllum rauntölum.
Veldareglurnar (rauntölur)
Veldi fullnægja fimm reiknireglum sem oft eru kallaðar veldareglurnar. Þær segja (að því gefnu að öll veldi sem koma við sögu séu vel skilgreind):
- $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$.
- $\displaystyle{ a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} }\qquad \text{ef}\; a \neq 0$.
- $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$.
- $(a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x$.
- $\displaystyle{ \left(\frac{a}b\right)^x = \frac{a^x}{b^x} }\qquad \text{ef}\; b \neq 0$.
Dæmi:
- Fáum með hjálp veldareglanna: \begin{align} \frac{(a^2 \cdot b^5)^4}{b^2 \cdot a^{12}} \cdot \left(\frac{a}{b^3}\right)^6 &= \frac{(a^2)^4 \cdot (b^5)^4}{b^2 \cdot a^{12}} \cdot \frac{a^6}{(b^3)^6} = \frac{a^{2 \cdot 4} \cdot b^{5 \cdot 4} \cdot a^6}{b^2 \cdot a^{12} \cdot b^{3 \cdot 6}} \\ &= \frac{a^8 \cdot b^{20} \cdot a^6}{b^2 \cdot a^{12} \cdot b^{18}} = a^{8+6-12} \cdot b^{20-2-18} = a^2. \end{align}
- Fáum með hjálp veldareglanna: \begin{align} \frac{(a^{2/3} \cdot b^{2/5})^{9/2}}{(b^6)^{1/15}} &= \frac{(a^{2/3})^{9/2} \cdot (b^{2/5})^{9/2}}{b^{6 \cdot 1/15}} = \frac{a^{2/3 \cdot 9/2} \cdot b^{2/5 \cdot 9/2}}{b^{2/5}} \\ &= \frac{a^3 \cdot b^{7/5}}{b^{2/5}} = a^3 \cdot b^{7/5 - 2/5} = a^3 \cdot b. \end{align}
Einnig geta eftirfarandi umritunarreglur verið gagnlegar við útreikninga:
- $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$.
- $\sqrt[q]{a^p} = a^{p/q}$.
Dæmi:
- Fáum með hjálp umritunarreglanna og veldareglanna: \[ \frac{\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[5]{a^7}}{a^2 \cdot \sqrt[15]{a}} = \frac{a^{2/3} \cdot a^{7/5}}{a^2 \cdot a^{1/15}} = a^{2/3 + 7/5 - 2 - 1/15} = a^{10/15 + 21/15 - 30/15 - 1/15} = a^0 = 1. \]
Veldisföll
Föll sem varpa sérhverju staki $x$ í $n$-ta veldi þess $x^n$, þar sem $n \geq 2$ er náttúruleg tala, kallast veldisföll. Algengustu gerðum veldisfalla má skipta í tvo hópa eftir því hvort $n$ er slétt tala eða oddatala:
| Ef $n \geq 2$ er slétt tala sýnir myndin að neðan hvernig graf veldisfallsins \[ f_s: \mathbb{R} \to [0, \infty[; \quad f_s(x) = x^n \] lítur út. Eins og grafið endurspeglar er $f_s$ stranglega minnkandi fyrir $x \leq 0$ og stranglega vaxandi fyrir $x \geq 0$. Fyrir sérhvert $x \gt 0$ er \[ f_s(-\sqrt[n]{x}) = x = f_s(\sqrt[n]{x}), \] svo fallið er ekki eintækt og þar með ekki gagntækt. En þar sem $f_s$ er stranglega vaxandi og þar með eintækt á bilinu $[0, \infty[$ má gera $f_s$ gagntækt með því að einskorða það við bilið $[0, \infty[$. Með öðrum orðum er einskorðunin $f_s|_{[0, \infty[}: [0, \infty[ \to [0, \infty[$; $f_s|_{[0, \infty[}(x) = x^n$ gagntæk og andhverfa hennar er $n$-ta rótarfallið \[ g_s: [0, \infty] \to [0, \infty[; \quad g_s(x) = \sqrt[n]{x}. \] | ||
| Ef $n \geq 3$ er oddatala sýnir myndin að neðan hvernig graf veldisfallsins \[ f_o: \mathbb{R} \to \mathbb{R}; \quad f_o(x) = x^n \] lítur út. Eins og grafið endurspeglar er $f_o$ stranglega vaxandi og gagntækt og því andhverfanlegt. Andhverfa þess er $n$-ta rótarfallið $g_o: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $g_o(x) = \sqrt[n]{x}$. |