Skip to Content

Oft er það svo að öll mengi, sem verið er að skoða í einhverju sambandi, eru hlutmengi af einu og sama menginu $G$. Þá getur verið gagnlegt að líta svo á að mengið $G$ innihaldi allt sem við höfum áhuga á að fjalla um og að það sem sé utan $G$ varði okkur engu. Þegar svo er gert er mengið $G$ stundum kallað grunnmengi.

Við þessar aðstæður þarf oft að fjalla um mengjamun af taginu $G \setminus A$, þar sem $A$ er hlutmengi í $G$. Ef enginn vafi leikur á hvert mengið $G$ sé, þá er þessi mengjamunur kallaður fyllimengi mengisins $A$ og hann er táknaður með $A^c$. Ýmis önnur tákn þekkjast fyrir fyllimengi $A$; til dæmis $\overline{A}$, $A’$ og $\mathbf{C}A$. Við höfum sem sagt: \[ A^c = G \setminus A. \] Óformlega má segja að fyllimengið $A^c$ sé sá hluti grunnmengisins sem liggur utan mengisins $A$. Á Venn-myndum er venja að tákna grunnmengið með rétthyrningi og á myndinni að neðan er fyllimengið $A^c$ litað rautt.

Um fyllimengi sam- og sniðmengja gilda reglur De Morgans, sem segja að fyrir sérhver tvö mengi $A$ og $B$ gildi: \[ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \quad \text{og} \quad (A \cap B)^c = A^c \cup B^c. \] Jafnframt gilda eftirfarandi reglur fyrir mengin $A$ og $B$:

  • $A \cap A^c = \varnothing$.
  • $A \cup A^c = G$.
  • $(A^c)^c = A$.
  • $A \subset B$ ef og aðeins ef $B^c \subset A^c$.

Dæmi:   Ef $A = \{-1,0,1,2\}$ og $G = \mathbb{Z}$, þá er \[ A^c = \{\ldots,-4,-3,-2\} \cup \{3,4,5,\ldots\}. \]

Dæmi:   Ef $A = \mathbb{R}^+$ og $G = \mathbb{R}$, þá er $A^c = \mathbb{R}^- \cup \{0\}$.