Skip to Content

Látum $f: X \to Y$ vera raunfall. Talan $U$ kallast yfirtala fallsins $f$ ef fyrir öll $x \in X$ gildir að $f(x) \leq U$. Ef $f$ hefur a.m.k. eina yfirtölu er sagt að það sé takmarkað að ofan. Myndin að neðan sýnir graf falls $f$ sem hefur yfirtölu $U$ og því er það takmarkað að ofan.

Dæmi:  

  • Hornaföllin $\cos: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ og $\sin: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ hafa t.d. $1$ sem yfirtölu því fyrir öll $x$ úr $\mathbb{R}$ gildir að $\cos(x) \leq 1$ og $\sin(x) \leq 1$. Bæði föllin eru því takmörkuð að ofan.
  • Annars stigs margliðan $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $f(x) = -x^2 + 2 x - 7$ hefur t.d. $-6$ sem yfirtölu því með uppfyllingu fernings fæst fyrir öll $x$ úr $\mathbb{R}$: \[ f(x) = -x^2 + 2 x - 7 = - (x-1)^2 - 6 \leq 0 - 6 = - 6. \] Margliðan er því takmörkuð að ofan.
  • Fallið $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $\displaystyle{f(x) = \frac{5 x^4}{1 + x^4}}$ hefur t.d. $5$ sem yfirtölu því fyrir öll $x$ úr $\mathbb{R}$ fæst: \[ f(x) = \frac{5 x^4}{1 + x^4} \leq \frac{5 x^4}{x^4} = 5. \] Fallið er því takmarkað að ofan.