Skip to Content

Látum $f: X \to Y$ vera vörpun og $y$ vera stak úr $Y$. Frummynd $f$ af einstökungnum $\{y\}$, þ.e. mengi þeirra staka úr $X$ sem $f$ varpar í $y$, kallast trefja vörpunarinnar $f$ af stakinu $y$. Þegar ekki er hætta á misskilningi er trefjan $f^{-1}(\{y\})$ einfaldlega táknuð með $f^{-1}(y)$. Hana má einnig skilgreina sem mengi allra lausna jöfnunnar $f(x) = y$ og því má rita hana á forminu. \[ f^{-1}(y) = \{x \in X \mid f(x) = y\}. \]

Venn-myndin að neðan sýnir vörpunina $f: X \to Y$, stakið $y$ úr $Y$ og trefju þess $f^{-1}(y)$.

Vert er að athuga að þrátt fyrir að $f$ varpi sérhverju staki úr $X$ í aðeins eitt stak úr $Y$ geta ólík stök úr $X$ varpast í sama stakið úr $Y$, svo trefjan $f^{-1}(y)$ er almennt ekki einstökungur.

Dæmi:   Látum $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$; $f(x) = 2 x$ og finnum trefjuna $f^{-1}(2)$. Eina lausn jöfnunnar $2 x = 2$ er $x = 1$, svo trefjan er gefin með \[ f^{-1}(2) = \{x \in \mathbb{N} \mid 2 x = 2\} = \{1\}. \]

Dæmi:   Látum $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $f(x) = x^2$ og finnum trefjuna $f^{-1}(9)$. Lausnir jöfnunnar $x^2 = 9$ eru $x = -3$ og $x = 3$, svo trefjan er gefin með \[ f^{-1}(9) = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 = 9\} = \{-3,3\}. \]