Skip to Content

Oddstætt (fall)

Látum $f: X \to Y$ vera fall þar sem $X$ og $Y$ eru hlutmengi í mengi rauntalna. Sagt er að $f$ sé oddstætt ef fyrir öll $x$ úr $X$ gildir að \[ f(-x) = - f(x). \] Graf oddstæðs falls fellur í sjálft sig þegar því er speglað um $y$-ásinn og spegilmyndinni síðan speglað um $x$-ásinn. Þetta má einnig orða svo að graf oddstæðs falls falli í sjálft sig ef því er snúið um hálfhring.

Dæmi:  

  • Fallið $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $f(x) = x \sqrt{x^2 + 1}$ er oddstætt því fyrir öll $x \in \mathbb{R}$ gildir að \[ f(-x) = (-x) \sqrt{(-x)^2 + 1} = - x \sqrt{x^2 + 1} = - f(x). \]

  • Fallið $g: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$; $\displaystyle{g(x) = \frac{x^4 + 2 x^2 + 3}{x^3 + x}}$ er oddstætt því fyrir öll $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ gildir að \[ g(-x) = \frac{(-x)^4 + 2 (-x)^2 + 3}{(-x)^3 + (-x)} = \frac{x^4 + 2 x^2 + 3}{-x^3 - x} = \frac{x^4 + 2 x^2 + 3}{-(x^3 + x)} = - \frac{x^4 + 2 x^2 + 3}{x^3 + x} = - g(x). \]