Látum $a$ vera rauntölu þannig að $a \geq 0$ og $n \geq 1$ vera náttúrulega tölu. Þá hefur jafnan $x^n = a$ nákvæmlega eina lausn $t \geq 0$ og þessi lausn er kölluð $n$-ta rótin af $a$ og táknuð með $\sqrt[n]{a}$. Með öðrum orðum er $n$-ta rótin af $a$ skilgreind með tvíleiðingunni \[t = \sqrt[n]{a} \quad \Leftrightarrow \quad t \geq 0 \quad \text{og} \quad t^n = a.\] Talan $a$ kallast rótarstofn og $n$ kallast rótarvísir.
Önnur rótin af $a$ kemur sérstaklega mikið við sögu og þess vegna er hún yfirleitt táknuð með $\sqrt{a}$ í stað $\sqrt[2]{a}$ og kölluð ferningsrótin af $a$.
Dæmi:
- $\sqrt{81} = 9$ því $9 \geq 0$ og $9^2 = 81$.
- $\sqrt[3]{343} = 7$ því $7 \geq 0$ og $7^3 = 343$.
- $\sqrt[4]{625} = 5$ því $5 \geq 0$ og $5^4 = 625$.
Ef $a$ er neikvæð rauntala og $n$ er oddatala má útvíkka skilgreininguna að ofan með því að skilgreina $n$-tu rótina af $a$ sem neikvæðu lausn jöfnunnar $x^n = a$. Með öðrum orðum er hún skilgreind með tvíleiðingunni \[ t = \sqrt[n]{a} \quad \Leftrightarrow \quad t \lt 0 \quad \text{og} \quad t^n = a. \] Hins vegar er ekki unnt að skilgreina $n$-tu rótina af $a$ á sama hátt ef $n$ er slétt tala, því þá hefur jafnan $x^n = a$ enga lausn.
Dæmi:
- $\sqrt[3]{-27} = -3$ því $-3 \lt 0$ og $(-3)^3 = -27$.
- $\sqrt[5]{-1024} = -4$ því $-4 \lt 0$ og $(-4)^5 = -1024$.
- Áttunda rótin af $-256$ er óskilgreind því jafnan $x^8 = -256$ hefur enga lausn.
Rótarreglur
Rætur fullnægja tveimur reiknireglum sem oft eru kallaðar rótarreglurnar. Þær segja:
- $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
- $\displaystyle{\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$.
Dæmi:
$\sqrt[4]{768} = \sqrt[4]{256 \cdot 3} = \sqrt[4]{256} \cdot \sqrt[4]{3} = 4 \cdot \sqrt[4]{3}$.
$\displaystyle{\sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}} = \frac3{4}}$.
Rótarföll
Föll sem varpa sérhverju staki $x$ í $n$-tu rót þess $\sqrt[n]{x}$, þar sem $n \geq 2$ er náttúruleg tala, kallast rótarföll. Algengustu gerðum rótarfalla má skipta í tvo hópa eftir því hvort $n$ er slétt tala eða oddatala.
| Ef $n \geq 2$ er slétt tala sýnir myndin að neðan hvernig graf rótarfallsins \[ g_s: [0, \infty[ \to [0, \infty[; \quad g_s(x) = \sqrt[n]{x} \] lítur út. Eins og grafið endurspeglar er $g_s$ stranglega vaxandi og gagntækt og þar með andhverfanlegt. Andhverfa þess er einskorðun $n$-ta veldisfallsins við bilið $[0, \infty[$, þ.e. \[ f_s|_{[0,\infty[}: [0, \infty[ \to [0, \infty[; \quad f_s|_{[0,\infty[}(x) = x^n. \] | ||
| Ef $n \geq 3$ er oddatala sýnir myndin að neðan hvernig graf rótarfallsins \[ g_o: \mathbb{R} \to \mathbb{R}; \quad g_o(x) = \sqrt[n]{x} \] lítur út. Eins og grafið endurspeglar er $g_o$ stranglega vaxandi og gagntækt og því andhverfanlegt. Andhverfa þess er $n$-ta veldisfallið \[ f_o: \mathbb{R} \to \mathbb{R}; \quad f_o(x) = x^n. \] |