Skip to Content

Setning:   Til eru óendanlega margar frumtölur.

Sönnun:   Við notum óbeina sönnun, þ.e. gerum ráð fyrir að aðeins séu til endanlega margar frumtölur og leiðum það til mótsagnar.

Gerum nú ráð fyrir að til séu endanlega margar frumtölur $p_{1}, \ldots, p_{n}$ og látum $p$ vera margfeldi þeirra allra að einum viðbættum, þ.e. $p = p_{1} \cdot p_{2} \cdot \ldots$ $\cdot p_{n-1} \cdot p_{n} + 1$. Nú gildir annað af eftirfarandi:

  • Talan $p$ er frumtala ólík öllum tölunum $p_{1}, \ldots, p_{n}$, en þá eru til að minnsta kosti $n+1$ frumtala sem er í mótsögn við forsendur.

  • Talan $p$ er ekki frumtala svo til er frumtala $q$ sem gengur upp í $p$. Þar sem enginn talnanna $p_{1}, \ldots, p_{n}$ gengur upp í $p$ þá er $q$ frábrugðin þeim öllum svo til er að minnsta kosti $n+1$ frumtala sem er í mótsögn við forsendur.