Merkjum tvo staði á reipinu þannig að hver partur sé einn þriðji af lengd þess. Þegar við skerum reipið, þá er lengri endinn að minnsta kosti tvöfalt lengri en sá styttri þá og því aðeins að reipið sé ekki skorið á miðpartinum. Við megum því skera reipið hvar sem er á $\frac{2}{3}$ hluta þess. Líkindin eru því $\frac{2}{3}$.

Látum $A$, $B$ og $C$ vera hornpunkta þríhyrningsins og $O$ vera miðpunkt umritaða hringsins. Látum $D$ vera fótpunkt hæðarinnar á $A B$. Látum $x$ vera hliðarlengd þríhyrningsins og $h$ vera hæð hans.

Lausn 1: Þar sem þríhyrningurinn er jafnarma, þá eru hæðirnar jafnframt miðlínur. Nú er það vel þekkt staðreynd að miðlínur í þríhyrningi skipta hver annarri í hlutföllunum $1:2$ og því er hæð þríhyrningsins $$|C D|=|C O|+|O D|=|C O|+\frac{1}{2}|C O|=\frac{3}{2}.$$

Lausn 2: Þríhyrningarnir $A B O$, $B C O$ og $A C O$ hafa allir sama flatarmálið $\frac{1}{2}x(h-1)$. Flatarmál þríhyrningsins $A B C$, sem er $\frac{1}{2}xh$ er jafnt samanlögðu flatarmáli þríhyrninganna $A B O$, $B C O$ og $A C O$ og því er $$\frac{1}{2}xh=3\cdot \frac{1}{2}x(h-1).$$ Við fáum þá að $h=3(h-1)$ og því er $h=\frac{3}{2}$.

Lausn 3: Þríhyrningarnir $A C D$ og $A O D$ eru rétthyrndir og regla Pýþagórasar gefur að $$ x^2=|A C|^2=|A D|^2+|C D|^2=\frac{1}{4}x^2+h^2$$ og $$ 1=|A O|^2=|A D|^2+|O D|^2=\frac{1}{4}x^2+(1-h)^2. $$ Samkvæmt fyrri jöfnunni er $x^2=\frac{4}{3}h^2$ og þegar við stingum inn í seinni jöfnuna fáum við að $$ 0=\frac{1}{3}h^2+(1-h)^2-1=\left(\frac{4}{3}h-2 \right)h $$ svo að $h=\frac{3}{2}$.

Lausn 4: Þríhyrningarnir $A O D$ og $C A D$ eru einslaga svo að $$ \frac{1}{h-1}=\frac{|A O|}{|O D|}=\frac{|A C|}{|A D|}=\frac{x}{\frac{1}{2}x}=2$$ og því $h=\frac{3}{2}$.

Látum $D$ vera miðpunkt $B C$. Þar sem miðpunktur umritaðs hrings þríhyrnings er skurðpunktur miðþverla hliðanna, þá er $O D$ hornrétt á $B C$. Þar sem þríhyrningurinn $A B C$ er jafnarma með topphorn í $A$, þá liggur $A$ á miðþverli $B C$. En þá liggja punktarnir $A$, $O$ og $D$ allir á sömu línunni sem er hæðin á $B C$ í þríhyrningnum $A B C$. Höfum þá að flatarmál $A B O C$ er $$ \begin{aligned} |A B O C|&=|A B C|-|O B C|=\frac{1}{2}\cdot|B C|\cdot|AD|-\frac{1}{2}\cdot|B C|\cdot|O D| \\ &=\frac{1}{2}r(r+h)-\frac{1}{2}rh=\frac{1}{2}r^2 \end{aligned} $$ þar sem $h=|O D|$.

Stærð kálgarðsins er mæld í kálhausum. Þegar við segjum að hliðarlengd kálgarðsins í fyrra hafi verið $x$ þá meinum við að hægt sé að rækta $x$ kálhausa í röð eftir hliðinni. Þá var uppskeran í fyrra $x^2$ kálhausar og ef hliðarlengd kálgarðsins er núna $y$ þá er uppskeran í ár $y^2$ kálhausar. Því er $211=y^2-x^2=(y+x)(y-x)$. Þar sem $211$ er frumtala og Amma Önd ræktar einungis heila kálhausa fæst að $x+y=211$ og $y-x=1$, sem gefur $y=106$ og $x=105$. Uppskeran í haust er því $106^2=(100+6)^2=10.000+1200+36=11.236$ kálhausar.