N1 | stæ.is

Dæmi 4. Neðra stig 1996-97

Ef $m=\frac{a b c}{a-b}$ , þá er $b$ jafnt

Ef $m=\frac{a b c}{a-b}$ , þá er $(a-b)m=a b c$ svo að $m a=m b+a b c=b(m+a c)$ og því er $b=\frac{m a}{m+a c}$ .

Rúta keyrir eftir vegi á $72$ km hraða á klukkustund. Fram úr henni fer trukkur sem keyrir á $90$ km hraða á klukkustund. Jörmunrekur situr í rútunni og tekur eftir því að trukkurinn er nákvæmlega $2$ sekúndur að fara fram hjá honum. Hve langur er trukkurinn?

Lausn

Við getum hugsað okkur að rútan sé kyrrstæð og trukkurinn fari fram hjá á hraðanum $90-72=18$ km á klukkustund. Lengd trukksins er sú vegalengd sem hann fer á $2$ sekúndum. Nú er

$18\,\text{km/klst}=\frac{18000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}=5\,\text{m/s}$ svo að lengd trukksins er

$5\,\text{m/s}\cdot 2\,\text{s}=10\,\text{m}$ .

Dæmi 6. Neðra stig 1996-97

Krossinn hér til hliðar er búinn til úr $6$ eins ferningum. Ummál hans er $7$ . Hvert er flatarmál hans?

Lausn

Ummál krossins er fjórtánföld hliðarlengd ferninganna. Gefið er að ummálið er $7$ svo að hliðarlengd ferninganna er $7/14=\text{0,5}$ . Flatarmál hvers fernings er þá $(\text{0,5})^2=\text{0,25}$ og flatarmál krossins alls því $6\cdot \text{0,25}=\text{1,5}$ .

Dæmi 7. Neðra stig 1996-97

Í þríhyrningnum $A B C$ er hornið $\angle C$ rétt, $|A C|=6$ og $|B C|=8$ . Punktur $D$ liggur á hliðinni $A B$ og punktur $E$ á hliðinni $B C$ , þannig að $\angle B E D=90^\circ$ . Ef $|D E|=4$ , þá er lengd striksins $B D$ jöfn

Lausn

Regla Pýþagorasar gefur að

$|A B|=\sqrt{|A C|^2+|B C|^2}=\sqrt{36+64}=10.$ Nú eru þríhyrningarnir

$A B C$ og

$D B E$ einslaga þar sem

$\angle D B E=\angle A B C$ og hornin

$\angle B E D$ ,

$\angle B C A$ eru bæði rétt. Þessvegna er

$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{|D E|}{|A C|}=\frac{|B D|}{|A B|}=\frac{|B D|}{10},$ svo að

$|B D|=\frac{20}{3}$ .

Dæmi 8. Neðra stig 1996-97

Þversumma tölunnar $10^{96}-96$ er

Lausn

Sjáum að

$10^{96}-96=1\underbrace{00\cdots0}_{96}-96=\underbrace{99\cdots9}_{94}04.$ Því er þversumma tölunnar

$10^{96}-96$ jöfn

$94\cdot 9+0+4=850$ .

Dæmi 9. Neðra stig 1996-97

Ef $f(x)=a x^4-b x^2+x+5$ og $f(-3)=2$ , þá er $f(3)$ jafnt

Lausn

Höfum að

$f(3)-f(-3)=(a\cdot 3^4-b\cdot 3^2+3+5)-(a\cdot 3^4-b\cdot 3^2-3+5)=6.$ Því er

$f(3)=f(-3)+6=8$ .

Dæmi 10. Neðra stig 1996-97

Lengd kassa vex um $2\%$ og breidd hans um $3\%$ , en hæð hans minnkar um $5\%$ . Hvernig breytist rúmmál kassans?

Lausn

Segjum að upphaflega hafi lengd kassans verið $l$ , breidd hans $b$ og hæð hans $h$ . Upphaflega rúmmálið var þá $l\cdot b\cdot h$ . Eftir breytinguna er lengdin $\text{1,02}\cdot l$ , breiddin $\text{1,03}\cdot b$ og hæðin $\text{0,95}\cdot h$ . Rúmmálið eftir breytingu er þá

$\begin{aligned} (\text{1,02}\cdot l)\cdot (\text{1,03}\cdot b)\cdot (\text{0,95}\cdot h)&=\text{1,02}\cdot \text{1,03}\cdot \text{0,95}\cdot lbh\\ &=(1+\text{0,02})\cdot(1+\text{0,03})\cdot \text{0,95}\cdot lbh\\ &\lt (1+\text{0,05})\cdot(1-\text{0,05})\cdot lbh\\ &=(1-\text{0,0025})\cdot lbh\\ &\lt lbh \end{aligned}$ svo það minnkar.

Dæmi 1. Neðra stig 1996-97

Út úr búð kostar Töfrabumbustrekkjarinn $9.995$ kr. Í Sjónvarpssjoppunni er hægt að kaupa þetta undratæki með þremur afborgunum, hverri að upphæð $2.995$ kr., en jafnframt þarf að greiða $995$ kr. í sendingarkostnað. Hve mikið sparast með því að kaupa tækið hjá Sjónvarpssjoppunni frekar en út úr búð?

Lausn

Töfrabumbustrekkjarinn kostar $3\cdot 2.995+995=8.985+995=9.980$ krónur í sjónvarpssjoppunni. Hann er því $9.995-9.980=15$ krónum ódýrari þar.

Dæmi 2. Neðra stig 1996-97

Hverja eftirfarandi mynda má brjóta þannig saman að út fáist píramíti með ferningslaga grunnflöt?

Lausn

Þrír þríhyrningar í röð eins og á myndum $A$ , $B$ og $C$ gefa okkur þrjár hliðar píramítans. Þá vantar norðurhliðina svo það er mynd $C$ sem gefur okkur píramítann.

Dæmi 3. Neðra stig 1996-97

Stærðin

$1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{5}}}}$ er jöfn

Lausn

Höfum að

$1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{5}}}}= 1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{5}{21}}} =1+\frac{1}{2+\frac{21}{68}} =1+\frac{68}{157}=\frac{225}{157}.$

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 4. Neðra stig 1996-97

Dæmi 5. Neðra stig 1996-97

Dæmi 6. Neðra stig 1996-97

Dæmi 7. Neðra stig 1996-97

Dæmi 8. Neðra stig 1996-97

Dæmi 9. Neðra stig 1996-97

Dæmi 10. Neðra stig 1996-97

Dæmi 1. Neðra stig 1996-97

Dæmi 2. Neðra stig 1996-97

Dæmi 3. Neðra stig 1996-97

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK