1991-92 | stæ.is

Dæmi 12. Efra stig 1991-92

Ellefu jafnmunarunur eru myndaðar með mun 13 og byrjunartölu 1991, 1992, 1993, $\dots$ , 2001. Runurnar eru endalausar. Fjöldi runanna sem innihalda ferningstölu er

Lausn

Látum $x$ vera eina af tölunum $1991, 1992, \ldots, 2001$ . Þá má skrifa $x$ sem $13\cdot 153+\alpha$ þar sem $\alpha$ er ein af tölunum $2,\ldots, 12$ . Við þurfum að ákvarða fyrir hvaða $x$ sé til náttúrleg tala $k$ þannig að $x+13k=y^2$ þar sem $y$ er náttúrleg tala. Skrifum $y=13\cdot a+b$ þar sem $b$ er ein af tölunum $0,1,\ldots,12$ . Ef við reiknum samleifa 13 fáum við að $b^2\equiv y^2 \equiv x+13k\equiv \alpha$ . En $b^2$ er einungis samleifa einhverri af tölunum 0, 1, 3, 4, 9, 10 eða 12 eins og fæst með því að prófa allar tölurnar frá 0 upp í 12 svo að $\alpha$ er þá ein af tölunum 3, 4, 9, 10 eða 12.

Dæmi 12. Neðra stig 1991-92

Myndin sýnir tvo ferninga, annan með hring innritaðan og hinn innritaðan í sama hring. Ef mismunurinn á flatarmálum ferninganna er $32$ , þá er geisli hringsins

Lausn

Með því að snúa minni ferningnum, þá getum við gert ráð fyrir að hornpunktar hans falli saman við snertipunkta hringsins við stærri ferninginn, eins og sýnt er á myndinni. Við tökum þá eftir að flatarmál stærri ferningsins er tvöfalt flatarmál þess minni. Til að sjá það drögum við einfaldlega hornalínur minni ferningsins. Ef við táknum flatarmál þess stærri með $F$ og þess minni með $f$ , þá höfum við jöfnurnar $F-f=32$ og $F=2f$ sem saman gefa $f=32$ og $F=64$ . Hliðarlengd stærri ferningsins er þá 8 og geisli hringsins 4.

Dæmi 14. Efra stig 1991-92

Ákvarðið allar lausnir á jöfnunni $\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3$ .

Lausn

Höfum að

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+a\cdot b+b^2)=(a-b)((a-b)^2+3 a b).$ Setjum

$a=\sqrt[3]{x+9}$ og

$b=\sqrt[3]{x-9}$ og fáum

$18 = 3\cdot(3^2+3a b)$ eða

$a b=-1$ . Þá er

$\sqrt[3]{x^2-81}=\sqrt[3]{x+9}\sqrt[3]{x-9}=a b=-1$ og þar með eru tvær lausnir,

$x=\sqrt{80}$ og

$x=-\sqrt{80}$ .

Dæmi 13. Neðra stig 1991-92

Skál er fyllt með blöndu vatns og ediks í hlutföllum $2:1$ . Önnur skál, sem tekur tvöfalt meira en sú fyrsta, er fyllt með blöndu vatns og ediks í hlutföllum $3:1$ . Ef innihaldi skálanna tveggja er nú hellt í þriðja ílátið, þá er hlutfallið á milli vatns og ediks

Lausn

Látum $x$ tákna stærð minni skálarinnar í lítrum. Þá eru $\frac{1}{3}x$ lítrar ediks í fyrstu skálinni og $\frac{1}{4}\cdot 2x$ lítrar ediks í annarri skálinni. Því eru samanlagt $\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}x=\frac{5}{6}x$ lítrar ediks í fyrstu skálunum tveimur. Þegar búið er að hella yfir í þriðju skálina, þá eru þar samtals $3x$ lítrar og þar af eru $(\frac{5}{6}x)/(3x)=\frac{5}{18}$ hlutar edik. Þá eru $1-\frac{5}{18}=\frac{13}{18}$ hlutar vatn, svo hlutfall vatns og ediks er $13:5$ .

Dæmi 16. Efra stig 1991-92

Reiknið summu logra (með grunntölu $10$ ) allra þátta tölunnar $1.000.000$ .

Lausn

Við minnumst þess að logri margfeldis tveggja talna er jafn summu logra talnanna. Summa logra talnanna sem ganga upp í 1.000.000 er því jöfn logranum af margfeldi allra slíkra talna. Athugum nú að $1.000.000=2^6\cdot5^6$ . Fjöldi þátta er því $7^2=49$ . Athugum nú að ef $d$ er þáttur tölu $n$ , þá er $n/d$ það einnig. Þættirnir koma því í pörum $d$ og $n/d$ ef $n\neq n/d$ , og margfeldi þeirra er $d\cdot n/d=n$ . Ef $d=n/d$ , þá er $d^2=n$ svo að $d$ er þá stakur þáttur. (Af þessu má því álykta að fjöldi þátta tölu $n$ er oddatala ef og aðeins ef $n$ er ferningstala.) Talan $1.000.000$ hefur þá $24$ tvenndir af deilum með margfeldi $1.000.000$ og staka deilinn $1.000$ . Margfeldi allra deila er því

$1.000.000^{24}\cdot 1.000=10^{6\cdot24+3}=10^{147}$ og logrinn af þessu margfeldi er 147.

Dæmi 14. Neðra stig 1991-92

Maja sló grasflöt sem var rétthyrningur $20$ m sinn um $12$ m að stærð. Hún byrjaði á því að slá ræmu umhverfis flötinn og hélt svo áfram eins og sýnt er á myndinni. Ef sláttuvélin sló braut sem var $1$ m á breidd, hversu oft þurfti Maja að beygja um $90^\circ$ til vinstri?

Lausn

Hugsum okkur að upp á blaðinu sé norður. Maja byrjar því í norðvestur horni blettsins og gengur í suður. Þar sem bletturinn er stærri á austur—vestur hliðina heldur en á norður—suður hliðina, þá endar Maja á því að ganga í austur eða vestur. Hún labbar $12$ sinnum í austur eða vestur og þar sem hún labbar í austur áður en hún labbar í vestur í fyrsta skipti, þá endar hún á því að labba í vestur. Í hvert skipti sem Maja byrjar að slá í suður verður hún að taka fjórar vinstribeygjur áður en hún byrjar næst að slá í suður. Hinsvegar þarf hún ekki að snúa sér í suður í síðasta skiptið sem hún labbar í vestur, svo í síðasta hringnum tekur hún aðeins þrjár vinstribeygjur. Alls eru vinstri beygjurnar þá $5\cdot 4 + 3=23$ .

Dæmi 17. Efra stig 1991-92

Látum $k$ vera tiltekna heila tölu. Skilgreinum runu $a_n=2^n k+1$ fyrir $n=0,1,2,\ldots$ .

(a) Sannið að ekki sé til frumtala $p$ sem gengur upp í alla liði rununnar.

(b) Sannið að ekki séu til frumtölur $p$ og $q$ þannig að sérhver liður í rununni sé deilanlegur annað hvort með $p$ eða með $q$ .

Lausn

(a) Við sýnum að það er ekki einu sinni til frumtala $p$ sem gengu r upp í $a_0$ og $a_1$ . Ef svo væri myndi hún einnig ganga upp í $2\cdot a_0-a_1=1$ , sem er fráleitt.

(b) Gerum ráð fyrir að slíkar frumtölur séu til. Af ofansögðu er ljóst að ef önnur þeirra, segjum $p$ , gengur upp í $a_0$ þá hlýtur $q$ að ganga upp í $a_1$ . Nú er $2\cdot a_1-a_2=1$ svo að $q$ gengur ekki upp í $a_2$ . Þá hlýtur $p$ að ganga upp í $a_2$ og þar með $4\cdot a_0-a_2=3$ svo að $p=3$ . Þá er $q\ne3$ svo $q$ gengur heldur ekki upp í $a_3$ því $4\cdot a_1-a_3=3$ . Frumtalan $p$ gengur því einnig upp í $a_3$ og þar með einnig upp í $2\cdot a_2-a_3=1$ sem er fráleitt. Slíkar frumtölur $p$ og $q$ eru því ekki til.

Dæmi 15. Neðra stig 1991-92

Ísmolabakki hefur tvö hólf P og Q. Hvort hólf hefur málin $4$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $3$ cm, eins og sýnt er á myndinni. Hólf P er fullt af vatni og hólf Q er hálffullt. Bakkanum er síðan hallað um kantinn sem bent er á á myndinni þannig að botninn myndi $45$ gráðu horn við grunnflötinn. Hvað flæða margir rúmsentímetrar úr bakkanum?

Lausn

Við gerum ráð fyrir að allt vatn sem rennur úr hólfi $P$ fari yfir í hólf $Q$ . Ef við lítum á þverskurð af bakkanum, þá sjáum við að úr hólfi $P$ renna $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3\cdot 4=18$ cm $^3$ . Hólf $Q$ getur haft alls $3\cdot 4\cdot 4 - 18 = 30$ cm $^3$ , en fyrir eru $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot 4=24$ cm $^3$ , svo það getur aðeins tekið við 6 cm $^3$ . Afgangurinn, eða $18-6=12$ cm $^3$ , renna því úr bakkanum.

Dæmi 18. Efra stig 1991-92

Skilgreinum fall $f(x)=kx(1-x)$ þar sem $k\gt 0$ er fasti. Ákvarðið
skilyrði á töluna $k$ sem eru nægileg og nauðsynleg til þess, að til sé rauntala $c$ þannig að $f(f(c))=c$ en $f(c)\neq c$ .

Lausn

Ef $x$ uppfyllir $f(x)=x$ , þá er $kx(1-x)=x$ svo að $x(k-1-k x)=0$ og því $x=0$ eða $k-1-k x=0$ .

Ef $x$ uppfyllir $f(f(x))=x$ , en $f(x)\neq x$ , þá er

$k^2x(1-x)(1-k x(1-x))=x$ þar sem

$x\neq 0$ og

$k-1-kx\neq 0$ . Þar sem

$x\neq 0$ , þá er þessi jafna jafngild jöfnunni

$\begin{aligned} 0&=1-k^2(1-x)(1-kx(1-x))\\ &=1-k^2+k^3x-k^3x^2+k^2x-k^3x^2+k^3x^3\\ &=x(1-x)^2k^3-(1-x)k^2+1\\ &=((1-x)k-1)(x(1-x)k^2-(1-x)k-1). \end{aligned}$ (Þáttunin í síðasta skrefi umritunarinnar fæst með margliðudeilingu, en við vitum

$k-1-kx$ er þáttur því allar lausnir

$f(x)=x$ hljóta jafnframt að vera lausnir

$f(f(x))=x$ .) Þar sem

$k-1-kx\neq 0$ þá fáum við

$\begin{aligned}k^2x^2-k(k+1)x+(k+1)=0 \quad * \end{aligned}$ Þessi síðasta jafna hefur lausn þá og því aðeins að aðgreinirinn

$D=k^2(k+1)^2-4k^2(k+1)=k^2(k+1)((k+1)-4)=k^2(k+1)(k-3)$ sé ekki neikvæður. Fyrir

$D\gt 0$ eru tvær ólíkar lausnir. Önnur þeirra hlýtur þá að vera frábrugðin lausn

$k-1-kx$ og þar sem

$x=0$ er ekki lausn, þá fáum við að

$f(f(x))=x$ hefur lausn sem er ekki lausn

$f(x)=x$ ef

$D\gt 0$ , það er ef

$k\gt 3$ . Ef hinsvegar

$D=0$ , þá er

$k=3$ og

$x=\frac{k(k+1)}{2k^2}=\frac{k+1}{2k}=\frac{2}{3}$ eina lausn

$*$ . En

$k=3$ og

$x=\frac{2}{3}$ uppfylla jöfnuna

$k-1-k x=0$ svo

$x$ er þá líka lausn

$f(x)=x$ .

Við höfum þá séð að til er lausn á $f(f(x))=x$ sem er ekki lausn á $f(x)=x$ þá og því aðeins að $k\gt 3$ .

Dæmi 16. Neðra stig 1991-92

Stærst af tölunum $3^{666}$ , $4^{555}$ , $5^{444}$ , $6^{333}$ og $7^{222}$ er

Lausn

Tökum eftir að veldisvísarnir eru allir margfeldi af 111, svo það nægir að bera saman tölurnar $3^6,\, 4^5,\, 5^4,\, 6^3$ og $7^2$ . Auðvelt er að ganga úr skugga um að $4^5$ er stærst þeirra: $7^2=49$ , $6^3=3^3\cdot 2^3 \lt3^3\cdot 3^3 = 3^6$ , $5^4=25^2\lt 27^2=3^6$ og $3^6 = 9\cdot 81=729$ sem er hinsvegar minni en $4^5=2^{10}=1024$ .

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 12. Efra stig 1991-92

Dæmi 12. Neðra stig 1991-92

Dæmi 14. Efra stig 1991-92

Dæmi 13. Neðra stig 1991-92

Dæmi 16. Efra stig 1991-92

Dæmi 14. Neðra stig 1991-92

Dæmi 17. Efra stig 1991-92

Dæmi 15. Neðra stig 1991-92

Dæmi 18. Efra stig 1991-92

Dæmi 16. Neðra stig 1991-92

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK