Dæmi 1. Úrslitakeppni 1991-92

Látum $P(x)$ vera margliðu af stigi $n-1$ þannig að $P(k)=\frac 1k$ fyrir $k=1$ , 2, $\dots$ , $n$ . Finnið $P(n+1)$ .

Lausn

Setjum $Q(x)=xP(x)-1$ . Þá gildir fyrir $k=1,\ldots,n$ að

$Q(k)=kP(k)-1=k\cdot\frac{1}{k}-1=0.$ Margliðan

$Q$ er af

$n$ -ta stigi svo að

$Q(x)=a(x-1)\cdots(x-n)$ . Finna má gildið á

$a$ með því að skoða gildi

$Q$ í 0. Nú er

$Q(0)=0\cdot P(0)-1=-1$ en einnig er

$Q(0)=a(0-1)\cdots(0-n)=(-1)^n\cdot a\cdot n!$ svo að

$a=(-1)^{n+1}/n!$ . Þá fæst að

$Q(n+1)=a((n+1)-1)\cdots((n+1)-n)=a\cdot n!=(-1)^{n+1}.$ Því er

$(n+1)P(n+1)-1=(-1)^{n+1}$ og

$P(n+1)=\frac{1+(-1)^{n+1}}{n+1}$ . Ef

$n$ er oddatala, þá er

$P(n+1)=\frac{2}{n+1}$ , en ef

$n$ er slétt tala, þá er

$P(n+1)=0$ .

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema