Byrjum á að umrita brotið $$\frac{n^2+n-1}{n^2+2n}=\frac{(n+2)^2-3(n+2)+1}{n(n+2)}.$$ Hugsum okkur að $p$ sé frumtala sem gengur upp í nefnarann. Sýnum að hún geti ekki gengið upp í teljarann. Þar sem $p$ er frumtala sem gengur upp í $n(n+2)$, þá gengur $p$ annað hvort upp í $n$ eða $n+2$. Ef $p$ gengur upp í $n$, þá getur $p$ ekki gengið upp í $n^2+n-1=n(n+1)-1$ því þá gengi $p$ líka upp í $1$. Ef $p$ gengur upp í $n+2$, þá getur $p$ ekki gengið upp í $(n+2)^2-3(n+2)+1=(n+2)((n+2)-3)+1$ því þá gengi $p$ upp í $1$. Við höfum sýnt að útilokað er að nokkur frumtala gangi upp í bæði teljara og nefnara og því er brotið fullstytt fyrir allar náttúrlegar tölur $n$.

Þær tölur $n$, $1\leq n\leq 500$, sem $2$ ganga upp í eru tölurnar $$1\cdot 2, 2\cdot 2, 3\cdot 2,\ldots, 250\cdot 2=500$$ og eru 250 talsins. Þær tölur $n$ sem 3 ganga upp í eru $$1\cdot 3, 2\cdot 3, 3\cdot 3, \ldots, 166\cdot 3=498$$ og eru 166 talsins. Þær tölur $n$ sem bæði 2 og 3 ganga upp í eru nákvæmlega þær tölur sem $2\cdot 3=6$ ganga upp í. Það eru tölurnar $$1\cdot 6, 2\cdot 6, 3\cdot 6,\ldots, 83\cdot 6=498$$ og eru 83 talsins. Alls eru það þá $250+166-83=333$ tölur $n$ sem annaðhvort 2 eða 3 ganga upp í. Það eru því $500-333=167$ tölur $n$ sem hvorki 2 eða 3 ganga upp í.

Lausn: Af jöfnunni $a^5=b^6$ leiðir að til er náttúruleg tala $x$ þannig að $a=x^6$ og $b=x^5$. Til að sjá þetta þá frumþáttum við tölurnar $a$ og $b$ $$ a = p_{1}^{k_{1}} \cdots p_{n}^{k_{n}}, \quad b = q_{1}^{j_{1}} \cdots q_{m}^{j_{m}} $$ þar sem $p_{1} \lt \cdots \lt p_{n}$ og $q_{1} \lt \cdots \lt q_{m}$. Nú er $a^5 = b^6$ og frumþáttunin er ótvíræð svo að $m=n$ og $p_{l}=q_{l}$, $5k_{l}=6j_{l}$ fyrir öll $l \in \{1, \ldots, n\}$. Nú hafa $5$ og $6$ engan sameiginlegan þátt og því gengur $5$ upp í $j_{l}$ og $6$ upp í $k_{l}$ fyrir öll $l \in \{1, \ldots, n\}$. Setjum $x=p_{1}^{k_{1}/6} \cdots p_{n}^{k_{n}/6}$. Þá er ljóst að $x^6=a$ og $x^5=b$.

Á sama hátt sést að til er náttúrleg tala $y$ þannig að $c=y^4$ og $d=y^3$. Af jöfnunni $d-a=61$ fæst þá að $y^3-x^6=61$. Nú er $$ 61 = y^3-x^6=(y-x^2)(y^2+yx^2+x^4). $$ Þar sem 61 er frumtala og $y^2+yx^2+x^4 \gt 1$ þá er $y-x^2=1$ og $y^2+yx^2+x^4=61$. Af fyrri jöfnunni fæst $y=x^2+1$ og seinni jafnan gefur þá að $$ 0 = (x^2+1)^2 + x^2(x^2+1) + x^4 - 61 = 3(x^2 - 4)(x^2 + 5). $$ Þá er $x^2=4$ og því er $x=2$ og $y=1+x^2=5$.

Við fáum nú að $a=x^6=2^6=64$, $b=x^5=2^5=32$, $c=y^4=5^4=625$ og $d=y^3=5^3=125$.

Svar: $324561$

Þar sem talan er sex stafa og tölustafirnir eru allir notaðir, þá er hver notaðar nákvæmlega einu sinni. Nú gengur $5$ upp í tölu þá og því aðeins að hún endi á $0$ eða $5$. Því er $d = 5$. Við gerum okkur töflu yfir allar þriggja stafa tölur sem byrja á $5$ og $11$ ganga upp í.

Einungis $561$ kemur til greina sem talan $d e f$ því allar hinar innihalda einhvern af tölustöfunum $7$,$8$,$9$ eða $0$. Þá er $e=6$ og $f =1$. Þar sem $4$ ganga upp í $a b c$ er $c$ sér í lagi slétt tala og því annaðhvort $2$ eða $4$. En $3$ ganga ekki upp í $256=3\cdot 85+1$ svo $c=4$. Þá er $a=3$ og$b=2$ eða þá $a=2$ og $b = 3$. En seinna tilfellið gengur ekki því $4$ er ekki þáttur í $2 3 4 = 4\cdot 58+2$. Höfum því að $a b c d e f$ er talan $324561$.

Lausn 2: Ljóst er að $d=5$ því $5$ gengur upp í tölu þá og því aðeins að hún endi á $0$ eða $5$. Nú er vel þekkt að $11$ gengur upp í $d e f$ þá og því aðeins að $11$ gangi upp í $d-e+f = 5-(e-f)$. Þá er nauðsynlega $e-f = 5$ svo að $e = 6$ og $f = 1$. Einnig er vel þekkt að $3$ gengur upp í $c d e$ þá og því aðeins að $3$ gangi upp í $c+d+e = c+5+6 = c+11$. Þá er nauðsynlega $c = 4$ því við höfum þegar notað tölustafinn $1$. Þá er $a b c = 234$ eða $a b c = 324$. En $4$ gengur ekki upp í $234=4\cdot 58+2$ svo að $a=3$ og $b=2$. Höfum þá að talan er $324561$.