Hornin $\angle B A C$ og $\angle B D C$ eru jafn stór þar sem þau eru ferilhorn sem spanna sama boga. Einnig eru hornin $\angle A B D$ og $\angle A C D$ jafn stór af sömu ástæðu. Þríhyrningarnir $A B P$ og $D C P$ eru því einslaga. Þar sem $|P C|=3|A P|$ fæst þá að $$\frac{3|A P|}{|P B|}=\frac{|P C|}{|P B|}= \frac{|P D|}{|P A|}= \frac{\frac{3}{2}|A P|}{|A P|}=\frac{3}{2},$$ og því $|P B|=2|A P|$. Látum $K$ vera fótpunkt þverilsins á $A C$ í gegnum $B$ og $H$ fótpunkt þverilsins á $A C$ í gegnum $D$. Nú er $\angle H P D=\angle K P B$ og $\angle P H D=\angle P K B$ svo þríhyrningarnir $P H D$ og $P K B$ eru einslaga. Þá er $$\frac{|D H|}{|B K|}= \frac{|P D|}{|P B|}=\frac{\frac{3}{2}|A P|}{2|A P|}=\frac{3}{4}$$ svo að $|D K|=\frac{3}{4}|B H|$. Af því leiðir að $|A D P|=\frac{3}{4}|A B P|$ og þar sem einnig gildir að $|A B C|=4|A P B|$ og $|A D C|=4|A D P|$ fáum við að $$ |A B C D|=|A D C|+|A B C|=4|A D P|+4\cdot \frac{3}{4}|A B P|=7.$$

Byrjum á að umrita brotið $$\frac{n^2+n-1}{n^2+2n}=\frac{(n+2)^2-3(n+2)+1}{n(n+2)}.$$ Hugsum okkur að $p$ sé frumtala sem gengur upp í nefnarann. Sýnum að hún geti ekki gengið upp í teljarann. Þar sem $p$ er frumtala sem gengur upp í $n(n+2)$, þá gengur $p$ annað hvort upp í $n$ eða $n+2$. Ef $p$ gengur upp í $n$, þá getur $p$ ekki gengið upp í $n^2+n-1=n(n+1)-1$ því þá gengi $p$ líka upp í $1$. Ef $p$ gengur upp í $n+2$, þá getur $p$ ekki gengið upp í $(n+2)^2-3(n+2)+1=(n+2)((n+2)-3)+1$ því þá gengi $p$ upp í $1$. Við höfum sýnt að útilokað er að nokkur frumtala gangi upp í bæði teljara og nefnara og því er brotið fullstytt fyrir allar náttúrlegar tölur $n$.

Ef $a$, $b$ og $c$ eru rætur $x^3+ax^2+bx+c$, þá er \begin{align} x^3+a x^2+b x+c&=(x-a)(x-b)(x-c)\\ &=x^3-(a+b+c)x^2+(a b+b c+c a)x-a b c \end{align} og því \[a=-a-b-c,\quad\quad b=a b+b c+c a,\quad\quad c=-a b c.\] Ef $c\neq 0$, þá gefur seinasta jafnan að $ab=-1$ og því er $a=1$ og $b=-1$ eða $a=-1$ og $b=1$. Í fyrra tilfellinu gefur fyrsta jafnan að $c=-2a-b=-1$ og þá er $a b+b c+c a=-1+1-1=-1=b$ svo annarri jöfnunni er líka fullnægt. Í seinna tilfellinu gefur fyrsta jafnan að $c=-2a-b=1$ en þá er $a b+b c+c a=-1-1+1=-1\neq b$ svo önnur jafnan gildir ekki.

Ef hinsvegar $c=0$, þá verða fyrstu tvær jöfnurnar að $2 a+b=0$ og $b=ab$. Ef $b\neq 0$, þá gefur seinni jafnan að $a=1$ og sú fyrri að $b=-2$. Ef hinsvegar $b=0$, þá gefur fyrri jafnan að $a=0$.

Höfum þá að $(a,b,c)=(0,0,0)$, $(a,b,c)=(1,-2,0)$ eða $(a,b,c)=(1,-1,-1)$.

Til einföldunar skulum við hugsa okkur að flísarnar séu ein lengdareining á kant og að byrjað sé á að setja hvíta flís í horn. Síðan hugsum við okkur að hliðarlengdir gólfflatarins séu $x=2m+a$ og $y=2n+b$, þar sem $m$ og $n$ eru heilar tölur, $0\lt a \leq 2$ og $0\lt b \leq2$.

Þegar við erum búin að flísaleggja rétthyrning með hliðarlengdir $2m$ og $2n$, þá höfum við lagt jafn margar hvítar og svartar flísar í hverja röð og flatarmál þeirra því jafnt. Við leggjum nú líka flísar á rétthyrninginn af breidd $b$ meðfram þeirri hlið svæðisins sem við höfum þegar lagt sem hefur lengdina $2m$. Við leggjum eina eða tvær raðir af flísum eftir því hvort $b \leq 1$ eða $b \gt 1$ og allar flísarnar í hvorri röð eru jafn stórar. Þar sem $2m$ er slétt tala, þá leggjum við jafn margar hvítar flísar og svartar í hvora röð og því samanlagt flatarmál hvítu flísanna jafnt samanlögðu flatarmáli þeirra svörtu.

Við förum eins að með rétthyrninginn af breidd $a$ meðfram hinni hlið svæðisins sem við byrjuðum á að leggja. Þá er aðeins eftir að leggja flísarnar í hornið sem á að líta út eins og einhver af myndunum fjórum hér til hliðar. Flatarmál hvítu og svörtu flísanna sem við höfum þegar lagt er jafnt svo flatarmál hvítu flísanna og þeirra svörtu í þessu horni þarf líka að vera jafnt. Við sýnum að svo getur ekki verið.

Greinilegt er að flatarmál svörtu og hvítu bútanna er ójafnt ef $0\lt a \leq 1$ eða $0\lt b \leq 1$. Ef $a \gt 1$ og $b \gt 1$ og við gefum okkur að flatarmál hvítu og svörtu skikanna sé jafnt, þá er $$ 1+(a-1)(b-1)=(a-1)+(b-1). $$ Þessi jafna jafngildir $$ 0=1-(a-1)-(b-1)+(a-1)(b-1)=(2-a)(2-b) $$ svo að annaðhvort er $a=2$ eða $b=2$. Höfum þá sýnt að önnur hliðarlengd gólfflatarins er heilt margfeldi af hliðarlengd flísanna og að fjöldi flísa meðfram þeirri hlið er jöfn tala.