Skip to Content

Dæmi 2. Úrslitakeppni 1996-97

Látum $p$ og $q$ vera jákvæðar rauntölur. Sýnið að $$(p^2+p+1)(q^2+q+1)\geq 9p q.$$

Dæmi 3. Úrslitakeppni 1996-97

Þrjú strandríki vilja skipta með sér þríhyrningslaga hafsvæði $A B C$. Ríkin þrjú eiga hvert sitt skerið í hornpunktum þríhyrningsins. Eftir langar og erfiðar samningaviðræður verður eftirfarandi regla til: Þegar ákvarða á hvaða ríki fær yfirráðarétt yfir punkti $P$ innan í $A B C$, þá er mæld fjarlægðin frá $P$ yfir í skerin þrjú (hornpunktana) og punkturinn tilheyrir svo því ríki sem á skerið sem er næst honum. Finnið skilyrði á lögun þríhyrningsins $A B C$ (skilyrði á hornin eða hlutföll hliða) sem þarf að vera uppfyllt til þess að einhver tvö ríkjanna eigi ekki samliggjandi hafsvæði.

Dæmi 4. Úrslitakeppni 1996-97

Látum $x$ vera rauntölu. Sannið að um einhverja af tölunum $x,2x,\ldots, 99x$ gildir að munurinn á henni og einhverri heilli tölu er minni en $\frac{1}{100}$.

Dæmi 5. Úrslitakeppni 1996-97

Sannið að ef teknar eru einhverjar $18$ þriggja stafa tölur í röð, þá er að minnsta kosti ein þeirra deilanleg með þversummu sinni.

Dæmi 6. Úrslitakeppni 1996-97

Í þríhyrningi $A B C$ gildir að $b\geq a$. Táknum með $M$ miðpunkt hliðarinnar $c$ og með $H$ fótpunkt hæðarinnar frá $C$. Sýnið að $$|M H|=\frac{b^2-a^2}{2 c}.$$

Dæmi 13. Efra stig 1996-97

Reglulegur áttflötungur situr innan í teningi eins og sýnt er á myndinni, þannig að hornpunktar áttflötungsins eru jafnframt miðpunktar hliða teningsins. Hvert er hlutfallið á milli yfirborðsflatarmáls áttflötungsins og yfirborðsflatarmáls teningsins?





Dæmi 14. Efra stig 1996-97

Fimm tölustafa tala er búin til með því að nota hvern af tölustöfunum $1$, $3$, $5$, $7$, $9$ einu sinni. Tölustafirnir sem eru í tuga- og þúsundasætunum eru hvor um sig stærri en tölustafirnir til hliðar við þá. Hvað eru margar slíkar fimm tölustafa tölur til?

Dæmi 15. Efra stig 1996-97

Maur er á ferð innan í hring. Hann byrjar í punkti $A_1$ á jaðrinum og heldur til punkts $A_2$ sem er líka á jaðrinum. Punkturinn $A_2$ er þannig að strengurinn $A_1A_2$ myndar $35^\circ$ horn við snertil við hringinn í punktinum $A_1$. Síðan heldur hann í átt að punkti $A_3$, en hornið á milli $A_2A_3$ og snertils í $A_2$ er nú $37^\circ$ (sjá mynd). Svona heldur þetta áfram nema hvað að hornið á milli $A_kA_{k+1}$ og snertils við hringinn í $A_{k}$ er nú $(33+2k)^\circ$.

Dæmi 18. Efra stig 1996-97

Er til náttúrleg tala $n$ þannig að þegar talan er rituð í tugakerfi þá er síðasti tölustafurinn ekki $0$, og þegar röð tölustafanna er snúið við þá fæst talan $2 n$?

Dæmi 19. Efra stig 1996-97

Gefið er að $x, y, z$ eru jákvæðar tölur og að $xyz=1$. Einnig er vitað að $x+y+z\gt \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$. Sannið að ein af þessu tölum er stærri en 1 og að hinar tvær eru minni en 1.

Syndicate content