Skip to Content

Dæmi 19. Efra stig 1996-97

Gefið er að $x, y, z$ eru jákvæðar tölur og að $xyz=1$. Einnig er vitað að $x+y+z\gt \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$. Sannið að ein af þessu tölum er stærri en 1 og að hinar tvær eru minni en 1.

Dæmi 18. Efra stig 1996-97

Er til náttúrleg tala $n$ þannig að þegar talan er rituð í tugakerfi þá er síðasti tölustafurinn ekki $0$, og þegar röð tölustafanna er snúið við þá fæst talan $2 n$?

Dæmi 21. Neðra stig 1996-97

Reitir í $n \times n$ borði eru númeraðir með tölunum frá $1$ upp í $n^2$ á sama hátt og sýnt er í dæminu fyrir $n=5$ hér til hliðar. Nú er valin ein tala úr hverri röð, en þó þannig að engar tvær þeirra séu í sama dálki. Hvaða útkomur eru mögulegar þegar völdu tölurnar eru lagðar saman?

Dæmi 22. Neðra stig 1996-97

Þrír hringir liggja eins og sýnt er á myndinni. Miðjur minni hringanna tveggja liggja á miðstreng þess stóra. Einnig er gefið að lengd striksins $P Q$ er $8$, og $P Q$ er snertill við báða minni hringina. Reiknið flatarmál skyggða svæðisins.


Dæmi 18. Efra stig 1995-96

Látum $p$ og $q$ vera ólíkar jákvæðar heiltölur. Sannið: Að minnsta kosti önnur jafnan $$x^2+p x+q=0 \quad\quad \text{ eða } \quad\quad x^2+q x+p=0,$$ hefur rauntölulausn.

Dæmi 19. Efra stig 1995-96

Sannið að til sé náttúruleg tala $n$ þannig að $$1996^{1995}\lt 1995^n\lt 1996^{1996}.$$

Dæmi 21. Neðra stig 1995-96

Þrír hringir með geislann $1$ og einn stór hringur eru lagðir eins og myndin sýnir. Ákvarðið flatarmál stóra hringsins. (Svarið á að vera á forminu $(\frac{a+b\sqrt{3}}{c})\pi$ þar sem $a, b$ og $c$ eru heilar tölur).

Dæmi 22. Neðra stig 1995-96

Hver eru möguleg gildi á tölu $n\gt 9$ þannig að $n$ börn geti skipt $9$ eins súkkulaðistykkjum jafnt á milli sín án þess að skipta nokkru stykki í fleiri en tvo hluta.

Dæmi 18. Efra stig 1994-95

Látum $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ vera fall sem er skilgreint fyrir allar rauntölur og sem uppfyllir fyrir allar rauntölur $x$ að $$f(x+19)\leq f(x)+19\quad\text{og}\quad f(x+94)\geq f(x)+94.$$
Sýnið að $f(x+1)=f(x)+1$ fyrir allar rauntölur $x$.

Dæmi 19. Efra stig 1994-95

Á stofugólfinu hjá Jörmunreki er stór ljótur hringlaga blettur með geisla $2$ metrar. Í fórum sínum á Jörmunrekur sjö hringlaga mottur sem hver um sig hefur geisla $1$ metra. Sýnið að Jörmunrekur getur breitt motturnar sjö á stofugólfið þannig að þær hylji blettinn ljóta algjörlega.

Syndicate content