Gefið er að $x, y, z$ eru jákvæðar tölur og að $xyz=1$. Einnig er
vitað að $x+y+z\gt \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$. Sannið að ein af
þessu tölum er stærri en 1 og að hinar tvær eru minni en 1.
Er til náttúrleg tala $n$ þannig að þegar talan er rituð í tugakerfi þá er síðasti tölustafurinn ekki $0$, og þegar röð tölustafanna er snúið við þá fæst talan $2 n$?
Reitir í $n \times n$ borði eru númeraðir með tölunum frá $1$ upp í $n^2$ á sama hátt og sýnt er í dæminu fyrir $n=5$ hér til hliðar. Nú er valin ein tala úr hverri röð, en þó þannig að engar tvær
þeirra séu í sama dálki. Hvaða útkomur eru mögulegar þegar völdu tölurnar eru lagðar saman?
Þrír hringir liggja eins og sýnt er á myndinni. Miðjur minni hringanna tveggja liggja á miðstreng þess stóra. Einnig er gefið að lengd striksins $P Q$ er $8$, og $P Q$ er snertill við báða minni hringina.
Reiknið flatarmál skyggða svæðisins.
Látum $p$ og $q$ vera ólíkar jákvæðar heiltölur. Sannið: Að
minnsta kosti önnur jafnan
$$x^2+p x+q=0 \quad\quad \text{ eða } \quad\quad x^2+q x+p=0,$$
hefur rauntölulausn.
Þrír hringir með geislann $1$ og einn stór hringur eru lagðir eins
og myndin sýnir. Ákvarðið flatarmál stóra hringsins. (Svarið á að vera
á forminu $(\frac{a+b\sqrt{3}}{c})\pi$ þar sem $a, b$ og $c$ eru heilar
tölur).
Hver eru möguleg gildi á tölu $n\gt 9$ þannig að $n$ börn geti skipt
$9$ eins súkkulaðistykkjum jafnt á milli sín án þess að skipta nokkru
stykki í fleiri en tvo hluta.
Látum $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ vera fall sem er skilgreint
fyrir allar rauntölur og sem uppfyllir
fyrir allar rauntölur $x$ að
$$f(x+19)\leq f(x)+19\quad\text{og}\quad f(x+94)\geq f(x)+94.$$
Sýnið að $f(x+1)=f(x)+1$ fyrir allar rauntölur $x$.
Á stofugólfinu hjá Jörmunreki er stór ljótur hringlaga blettur með
geisla $2$ metrar. Í fórum sínum á Jörmunrekur sjö hringlaga mottur sem
hver um sig hefur geisla $1$ metra. Sýnið að Jörmunrekur getur breitt
motturnar sjö á stofugólfið þannig að þær hylji blettinn ljóta algjörlega.