Skip to Content

Dæmi 1. Úrslitakeppni 1994-95

Fimm konur Bryndís, Eydís, Freydís, Hafdís og Vigdís hafa sett upp hatta, sem eru annað hvort hvítir eða svartir að lit. Engin kvennanna veit hvernig litan hatt hún sjálf er með á höfðinu. Nú er vitað að kona með svartan hatt segir ávallt satt en kona með hvítan hatt lýgur alltaf.

Dæmi 2. Úrslitakeppni 1994-95

Látum $a_1,\dots,a_n$ vera ólíkar oddatölur, þannig að engin frumtala stærri en 5 gangi upp í neinni þeirra. Sýnið að $$ \frac 1{a_1}+\cdots +\frac 1{a_n} \lt 2. $$

Dæmi 3. Úrslitakeppni 1994-95

Látum $m$ og $n$ vera náttúrlegar tölur og gerum ráð fyrir að talan $24$ gangi upp í $m n+1$. Sýnið að $24$ gengur upp í $m+n$.

Dæmi 4. Úrslitakeppni 1994-95

Sýnið að jöfnurnar $x=a+\sqrt{{a+\sqrt x}}$ og $x=a+\sqrt x$ eru jafngildar og finnið allar lausnir á þeim.

Dæmi 5. Úrslitakeppni 1994-95

Gefinn er jafnhliða þríhyrningur $A B C$ og innan í honum er punkturinn $F$ þannig að flatarmál þríhyrningsins $A F C$ er jafnt flatar-máli ferhyrningsins $D B E F$. Ákvarðið hornið $\angle E F C$.

[Athugið að tveir þríhyrningar eru eins ef þeir hafa sama flatarmál, eina jafn langa hlið og eitt horn jafn stórt.]



Dæmi 6. Úrslitakeppni 1994-95

Er hægt að koma ferningi með hliðarlengd $21$ inn í tening með brúnalengd $20$?

Dæmi 11. Efra stig 1994-95

Finnið allar náttúrulegar tölur $m$ og $n$ þannig að $m^2-n^2=72$.

Dæmi 13. Efra stig 1994-95

Ferningurinn $A B C D$ hefur hliðarlengd $8$. Hringur gegnum $B$ og $C$ snertir hliðina $A D$. Hver er geisli hringsins?





Dæmi 14. Efra stig 1994-95

Finnið margliðu $p(x)$ þannig að $p(1-x)+2p(x)=x$.

Dæmi 18. Efra stig 1994-95

Látum $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ vera fall sem er skilgreint fyrir allar rauntölur og sem uppfyllir fyrir allar rauntölur $x$ að $$f(x+19)\leq f(x)+19\quad\text{og}\quad f(x+94)\geq f(x)+94.$$
Sýnið að $f(x+1)=f(x)+1$ fyrir allar rauntölur $x$.

Syndicate content