Fjölval | stæ.is

Dæmi 8. Neðra stig 1994-95

Skurðgrafa er einn klukkutíma að grafa holu sem er $3$ metrar að lengd, $3$ metrar að breidd og $3$ metrar að dýpt. Hve lengi eru tvær samskonar gröfur sem vinna á sama hraða að grafa holu sem er $6$ metra löng, $6$ metra breið og $6$ metrar djúp?

Lausn

Ein skurðgrafa grefur $3^3$ rúmmetra á klukkustund svo að tvær skurðgröfur grafa $2\cdot 3^3$ rúmmetra á klukkustund. Tíminn sem það tekur tvær skurðgröfur að grafa $6^3$ rúmmetra er því $$ \frac{6^3}{2\cdot 3^3}=\frac{2^3\cdot 3^3}{2\cdot 3^3}=2^2=4$$ klukkustundir.

Dæmi 9. Neðra stig 1994-95

Jörmunrekur hefur keyrt $80.000$ km án þess að kaupa ný dekk. Hve marga kílómetra hefur hvert dekkjanna fimm verið notað ef varadekkið hefur verið notað til jafns við hin dekkin?

Lausn

Ef öll fimm dekkin hafa verið notuð jafn mikið, þá hefur hvert þeirra verið varadekk fimmta hlutann af heildar vegalengdinni eða $80.000/5=16.000$ km. Hvert þeirra hefur þá verið undir bílnum $80.000-16.000=64.000$ km.

Dæmi 10. Neðra stig 1994-95

Hornin $\angle A B C$ og $\angle B C D$ eru bæði $90^\circ$. Lengd striksins $d$, sem er hornrétt á $B C$, er

Lausn

Látum $P$ vera skurðpunkt strikanna $A C$, $B D$ og látum $Q$ vera fótpunkt lóðlínunnar á $B C$ í gegnum $P$. Þá er $d=|P Q|$. Setjum $x=|B Q|$. Nú eru þríhyrningarnir $B P Q$ og $B D C$ einslaga því hornin $\angle P B Q$ og $\angle D B C$ eru jafn stór og hornin $\angle P Q B$ og $\angle D C B$ eru bæði rétt. Því er $\frac{d}{x}=\frac{20}{10}=2$. Eins eru þríhyrningarnir $C P Q$ og $C A B$ einslaga svo að $\frac{d}{10-x}=\frac{30}{10}=3$. Þá er $d=30-3x=30-\frac{3}{2}d$ svo að $d=\frac{2}{5}\cdot 30=12$.

Dæmi 11. Neðra stig 1994-95

Þríhyrningurinn $A B C$ er jafnhliða með hliðalengd 12. Ef $E$ er miðpunktur hæðarinnar $A D$ þá er lengd striksins $B E$ jöfn

Lausn

Við beitum reglu Pýþagorasar á þríhyrningana $B A D$ og $B E D$ og fáum að $$|A D|=\sqrt{|B A|^2-| B D|^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{108}$$ og $$|B E|=\sqrt{|B D|^2+|E D|^2}=\sqrt{6^2+27}=\sqrt{63}$$ því $|E D|=\frac{1}{2}|A D|=\sqrt{108/4}=\sqrt{27}$.

Dæmi 1. Neðra stig 1994-95

Í dag, $18$.október $1994$, er sólarupprás í Reykjavík kl.$8$:$26$ fyrir hádegi og sólarlag kl.$5$:$59$ eftir hádegi. Í dag er sólin á lofti í Reykjavík í

Lausn

Höfum að $17:59-8:26=9:33$ sem eru $9\cdot 60+33=540+33=573$ mínútur.

Dæmi 2. Neðra stig 1994-95

Talan $\left( 3\frac{1}{3}\right)^2$ er jöfn tölunni

Lausn

Höfum að $$\left(3\frac{1}{3}\right)^2=\left(\frac{10}{3}\right)^2 =\frac{100}{9}=11\frac{1}{9}.$$

Dæmi 3. Neðra stig 1994-95

Hver er minnsti hugsanlegi fjöldi barna í fjölskyldu þar sem hvert barn á að minnsta kosti tvo bræður og þrjár systur?

Lausn

Fyrir hvern strák í fjölskyldunni eru til tveir aðrir drengir og fyrir hverja stúlku eru til þrjár aðrar stúlkur. Það eru því að minnsta kosti $3$ strákar og $4$ stúlkur. Ljóst er að í slíkri fjölskyldu á sérhvert barn að minnsta kosti $2$ bræður og $3$ systur.

Dæmi 4. Neðra stig 1994-95

Hverja myndanna er ekki hægt að teikna án þess að lyfta blýantinum frá blaðinu eða fara tvisvar um eitthvert strik?

Lausn

Fljótséð er að við getum teiknað myndir $A$, $B$ og $C$ án þess að lyfta blýantnum eða fara tvisvar um eitthvert strik. Mynd $D$ er hinsvegar ekki hægt að teikna þannig. Ekki gengur að teikna eins og sýnt er á mynd (a) svo við verðum að byrja eins og sýnt er á mynd (b). Þá getum við haldið áfram eins og sýnt er á myndum (c) og (d), en ljóst er að við getum hvoruga teikninguna klárað án þess að lyfta blýantinum eða fara tvisvar um eitthvert strik.

Dæmi 5. Neðra stig 1991-92

Píluskífa hefur þrjá hringi (sjá mynd). Fjöldi stiga sem fást fyrir að lenda í hverju svæðanna þriggja er eins og sýnt er á myndinni. Minnsti fjöldi pílukasta sem þarf til þess að hljóta nákvæmlega 21 stig er

Lausn

Til að ná stigatölunni 21 þarf að minnsta kosti 5 köst, því fjögur köst í það svæði sem veitir flest stig gefur aðeins 20 stig. Fljótséð er að það má ná 21 stigi í 5 köstum með því að kasta 3 pílum í svæðið sem gefur 5 stig og 2 pílum í svæðið sem gefur 3 stig.

Dæmi 6. Efra stig 1993-94

Látum $Q$ vera mengið $$ Q = \{p/q\;|\; p,q\in {\mathbb{N}},\; 1\le p\le 10\;\text{og}\;1\le q\le 10\}. $$ Hversu mörg stök eru í Q? (Hér táknar $\mathbb{N}$ mengi náttúrlegra talna.)

Lausn

Hér virðist fátt annað til ráða en að skrifa öll stökin upp og telja þau svo. Í hverja línu í töflunni skrifum við aðeins þau stök sem ekki hafa þegar verið talin upp í línunum fyrir ofan.

$q$	Stök $Q$
$1$	$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$
$2$	$\frac{1}{2},\, \frac{3}{2},\, \frac{5}{2},\, \frac{7}{2},\, \frac{9}{2}$
$3$	$\frac{1}{3},\, \frac{2}{3},\, \frac{4}{3},\, \frac{5}{3},\, \frac{7}{3},\, \frac{8}{3},\, \frac{10}{3}$
$5$	$\frac{1}{5},\, \frac{2}{5},\, \frac{3}{5},\, \frac{4}{5},\, \frac{6}{5},\, \frac{7}{5},\, \frac{8}{5},\, \frac{9}{5}$
$7$	$\frac{1}{7},\, \frac{2}{7},\, \frac{3}{7},\, \frac{4}{7},\, \frac{5}{7},\, \frac{6}{7},\, \frac{8}{7},\, \frac{9}{7},\, \frac{10}{7}$
$4$	$\frac{1}{4},\, \frac{3}{4},\, \frac{5}{4},\, \frac{7}{4},\, \frac{9}{4}$
$8$	$\frac{1}{8},\, \frac{3}{8},\, \frac{5}{8},\, \frac{7}{8},\, \frac{9}{8}$
$9$	$\frac{1}{9},\, \frac{2}{9},\, \frac{4}{9},\, \frac{5}{9},\, \frac{7}{9},\, \frac{8}{9},\, \frac{10}{9}$
$6$	$\frac{1}{6},\, \frac{5}{6},\, \frac{7}{6}$
$10$	$\frac{1}{10},\, \frac{3}{10},\, \frac{7}{10},\, \frac{9}{10}$

Sjáum að þetta eru samtals $63$ stök.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 8. Neðra stig 1994-95

Dæmi 9. Neðra stig 1994-95

Dæmi 10. Neðra stig 1994-95

Dæmi 11. Neðra stig 1994-95

Dæmi 1. Neðra stig 1994-95

Dæmi 2. Neðra stig 1994-95

Dæmi 3. Neðra stig 1994-95

Dæmi 4. Neðra stig 1994-95

Dæmi 5. Neðra stig 1991-92

Dæmi 6. Efra stig 1993-94

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK