Ef 3t−1=s−3, þá er t−3 jafnt
Ef 3t−1=s−3, þá er t=13(s−2) og því t−3=s−23−3=s−113.
Flatarmál stærsta þríhyrnings sem má innrita í hálfhring með geisla r er
Látum PQ vera miðstreng hrings með geisla r og O vera miðpunkt hans. Látum A, B og C vera hornpunkta þríhyrnings sem liggja á strikinu PQ eða á hringnum þannig að engir tveir punktar séu hvor sínu megin við strikið PQ. Ef tveir hornpunkta þríhyrningsins eru á strikinu PQ, segjum A og B, þá er |AB|≤2r og hæðin á hliðina AB getur ekki verið meiri en r. Flatarmál þríhyrningsins er því ekki stærra en 12⋅2r⋅r=r2. Ef hinsvegar tveir hornpunktar þríhyrningsins liggja á hringnum, segjum A og B, og C liggur á strikinu PQ, þá er annaðhvort O=C eða O liggur innaní öðru hornanna ∠CAB eða ∠ABC, segjum ∠CAB. Í báðum tilfellum drögum við línuna gegnum O samsíða BC. Þá sjáum við að hæðin á hliðina CB er ekki stærri en r og |BC|≤2r svo flatarmál þríhyrningsins er ekki meira en 12⋅2r⋅r=r2. Ef allir punktarnir A, B og C eru á hringnum, segjum í röðinni P, A, B, C, Q, þá drögum við línuna í gegnum O samsíða strikinu AC. Þá er þríhyrningurinn áfram allur sömu megin við nýju línuna og við getum því gert ráð fyrir að AC sé samsíða PQ. En þá er ljóst að |AC|≤2r og hæðin á hliðina AC er minni en r svo flatarmál ABC er ekki meira en 12⋅2r⋅r=r2. Höfum nú séð að flatarmál þríhyrningsins ABC getur aldrei orðið meira en r2. Það getur hinsvegar verið jafnt r2 því ef R er annar skurðpunkta hringsins við þverilinn á PQ í O, þá er flatarmál PQR einmitt 12⋅2r⋅r=r2.
Allar heilu tölurnar frá 1 og upp í 1.000.000 eru prentaðar út. Hve oft kemur tölustafurinn 5 fyrir?
Hægt er að telja hve oft 5 kemur fyrir í eins stafs tölum, tveggja stafa tölum og svo framvegis. Það má hinsvegar einnig komast hjá þeirri talningu með eftirfarandi röksemdarfærslu. Athugum að við þurfum ekki að hafa áhyggjur af tölunni 1.000.000, því í henni kemur tölustafurinn 5 hvergi fyrir. Því getum við gert ráð fyrir að hún sé ekki á listanum, en í staðin skulum við bæta 0 fremst í listann þannig að við prentum út 1.000.000 tölur eftir sem áður. Hugsum okkur að við prentum núll fremst í tölunum þannig að allar verði þær 6 stafa langar. Þannig prentum við til dæmis 000555 þar sem talan 555 á að koma. Tölustafurinn 5 kemur jafnoft fyrir á þessum lista eins og þeim upphaflega. Í allt þá prentum við út 6⋅1.000.000 tölustafi og tölustafurinn 5 kemur jafnoft fyrir á þessum lista og hver hinna 9 tölustafanna. Svarið er því 6.000.000/10=600.000.
Gefnar eru n tölur, ein er jöfn 1−1n og hinar eru allar jafnar 1. Hvert er meðaltal talnanna?
Meðaltal talnanna er (1−1n)+(n−1)⋅1n=n−1nn=1−1n2.
Ef 2a+2b=3c+3d, hve margar heilu talnanna a,b,c,d geta þá verið <0?
Með því að skipta hugsanlega um nöfn á a og b annarsvegar og c og d hinsvegar, þá getum við gert ráð fyrir að a≥b og c≥d. Ef við umritum 2a+2b=3c+3d fáum við 3−d(1+2a−b)=2−b(1+3c−d) og við veitum því athygli að a−b≥0 og c−d≥0.
Ef d<0, þá er 3−d heil tala svo við höfum heila tölu á vinstri hlið og því er 3−d þáttur í 1+3c−d. Þá er til heil tala k þannig að k3−d=1+3c−d og þar sem 3 er þáttur í k3−d en ekki í 1, þá er 3 ekki þáttur í 3c−d og því c=d. En þá er k3−d=2 svo 3 er þáttur í 2 sem er mótsögn. Því er d≥0 og þá einnig c≥0 því c≥d.
Ef b<0 förum við svipað að. Höfum þá að 2−b er þáttur í 1+2a−b og því a=b. Þá er 2−b þáttur í 2 og þar sem b≠0 þá er b=−1 svo að 2a+2b=12+12=1. En þá er 1=3c+3d=3d(1+3c−d) og þar sem við höfum þegar séð að d≥0 sjáum við að d=0, annars væri 3 þáttur í 1. Þá er 1=1+3c−d svo 3c−d=0 sem stenst ekki. Því er b≥0 og þá einnig a≥0 því a≥b.
Höfum þá séð að engin talnanna a, b, c og d getur verið minni en 0.
Þríhyrnt tún með hliðarlengdir 200 m, 200 m og 300 m er girt. Á milli girðingarstaura eru 5 m. Hversu marga staura þarf?
Á 200 m hliðarnar þarf 41 staur en á 300 m hliðina þarf 61 staur. Hver hornstauranna þriggja er sameiginlegur tveimur hliðum svo heildar fjöldi staura er 41+41+61−3=140. Getum einnig hugsað okkur að við séum að girða svæði með ummál 700 m. Þá þarf augljóslega 140 staura.
Þegar (x−1+y−1)−1 er einfaldað sést að þessi stærð er jöfn
Höfum að (x−1+y−1)−1=(1x+1y)−1=(y+xxy)−1=xyx+y.
Þegar grunnlína þríhyrnings er lengd um 10% og hæð hans á grunnlínu er minnkuð um 10%, þá verður flatarmálið
Táknum lengd grunnlínu í upphaflega þríhyrningnum með g og hæðina á hana með h. Flatmál upphaflega þríhyrningsins er F0=12gh. Grunnlína nýja þríhyrningsins er 1,1⋅g og hæðin á hana er 0,9⋅h. Flatarmál nýja þríhyrningsins er þá 12(1,1⋅g)(0,9⋅h)=0,99⋅12gh=0,99⋅F0 eða 1% minna en flatarmál þess upphaflega.
Talan (0,1+10,1)2 er jöfn
Höfum að (0,1+10,1)2=(0,1+10)2=0,01+2+100=102,01.
Gildið á 6(12−32)−14 er
Höfum að 6(12−32)−14=6(12−9)−14=6⋅3−14=18−14=4.