Skip to Content
  • Rúmfræðileg færsla

Færsla

07/2011 - Jóhann Sigurðsson

Við þurfum oft að vinna með sléttumyndir. Þá viljum við gjarnan geta fært þær til, minnkað þær og stækkað. Slíkum aðgerðum er lýst með rúmfræðilegum færslum. Færsla á tiltekinni sléttu úthlutar sérhverjum punkti sléttunnar einhverjum punkti í sömu sléttu; með öðrum orðum, þá færir hún punkta sléttunnar til. Færslur uppfylla tvö skilyrði:

  • punktar í tiltekinni röð á sömu línu færast á punkta í sömu röð á einhverri línu,

  • strik sem eru jafn löng færast á strik sem eru líka jafn löng.

Færslur eru oft táknaðar með grískum lágstöfum á borð við $\phi$, $\lambda$, $\rho$, $\sigma$ og $\tau$. Áhrif tiltekinnar færslu $\phi$ á punkt $A$ eru táknuð með $\phi(A)$ (lesið: $\phi$ af $A$).

Einslögunarfærsla

07/2011 - Jóhann Sigurðsson

Látum $\phi$ vera færslu á tiltekinni sléttu. Ef hlutfallið milli lengda strikanna $\phi(AB)$ og $AB$ er það sama fyrir öll strik $AB$, þá kallast færslan einslögunarfærsla. Einingarhlutfallið \[k=\frac{|\phi(AB)|}{|AB|}\] kallast þá kvarði einslögunarfærslunnar.

Óformlega má segja að einslögunarfærslur séu þær færslur sem varðveita „lögun“ en ekki endilega „stærð“. Ef $k \gt 1$, þá stækkar einslögunarfærslan allar myndir, en ef $k \lt 1$, þá minnkar hún allar myndir.

Stríkkun

07/2011 - Jóhann Sigurðsson

Til að minnka eða stækka sléttumyndir má nota stríkkanir. Þá er ákveðinn punktur $M$ valinn sem miðja stríkkunarinnar og ákveðin jákvæð rauntala $k$ sem kallast kvarði stríkkunarinnar. Stríkkunin færir síðan punkta til eftir hálflínunum með upphafspunkt í miðjunni $M$. Hún færir punktinn $P$ þannig að hlutfallið milli lengda strikanna $MP$ og $M\lambda(P)$ er alltaf $k$, eða með öðrum orðum \[|M\lambda(P)|=k\cdot |MP| \qquad\text{fyrir alla punkta $P$ í sléttunni.}\] Ef $k\gt 1$, þá er sagt að stríkkunin sé stækkun, en ef $k \lt 1$ þá er sagt að stríkkunin sé minnkun.

Flutningur

07/2011 - Jóhann Sigurðsson

Flutningur er færsla á tiltekinni sléttu sem hefur þann eiginleika að þegar strik er fært, þá er færða strikið jafn langt og upphaflega strikið. Flutningar breyta því ekki lengdum strika þegar þeir færa þau til.

Þegar flutningar eru notaðir til að flytja sléttumyndir til, þá breytast ekki innbyrðis fjarlægðir milli punkta. Flutta myndin er því nákvæmlega eins og upphaflega myndin.

Hliðrun

07/2011 - Jóhann Sigurðsson

Hliðrun er færsla á tiltekinni sléttu sem færir alla punkta jafn langt og í sömu stefnu.

Með öðrum orðum, færsla $\tau$ er hliðrun ef hún hefur eftirfarandi tvo eiginleika:

  • fjarlægðin milli $A$ og $\tau(A)$ er sú sama fyrir alla punkta $A$,

  • fyrir alla punkta $A$ tilgreina hálflínurnar frá $A$ í gegnum $\tau(A)$ sömu stefnuna.

Hlutlausa færslan telst líka til hliðrana; hún hefur hinsvegar enga tiltekna stefnu.

Snúningur

07/2011 - Jóhann Sigurðsson

Látum $\rho$ vera færslu á tiltekinni sléttu og $M$ vera punkt í sléttunni. Færslan $\rho$ er snúningur með miðju í punktinum $M$ ef hún hefur eftirfarandi eiginleika:

  • punktarnir $A$ og $\rho(A)$ eru í sömu fjarlægð frá $M$ fyrir alla punkta $A$ í sléttunni,

  • hornin $\angle AM\rho(A)$ eru jafn stór fyrir alla punkta $A\neq M$.

Þessi skilyrði má orða þannig að $\rho$ heldur hring með miðju $M$ kyrrum og færir alla punkta á hringnum jafn mikið eftir boga hringsins.

  • Speglun um línu

Línuspeglun

07/2011 - Jóhann Sigurðsson

Látum $\sigma$ vera færslu á tiltekinni sléttu og $l$ vera línu í sléttunni. Ef línan $l$ er miðþverill striksins $A\sigma(A)$ fyrir alla punkta $A$ í sléttunni sem ekki eru á línunni $l$, þá er $\sigma$ speglun um línuna $l$. Línan $l$ kallast þá spegillína speglunarinnar og punkturinn $\sigma(A)$ kallast spegilmynd $A$.

Færsla er línuspeglun ef hún er speglun um einhverja línu.

Syndicate content


by Dr. Radut.