N2 | stæ.is

Dæmi 9. Neðra stig 1991-92

Algebrulegu stærðunum $2x+1$ , $2x-3$ , $x+2$ , $x+5$ og $x-3$ má raða upp þannig að summa þriggja fyrstu er $4x+3$ og summa þriggju síðustu er $4x+4$ . Stærðin í miðjunni er þá

Lausn

Látum $y_1,\, y_2,\, y_3,\, y_4,\, y_5$ vera slíka röðun. Þá er summa þeirra

$y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=7x+2$ og summa þriggju fyrstu og þriggja seinustu er

$(y_1+y_2+y_3)+(y_3+y_4+y_5)=(4x+3)+(4x+4)=8x+7.$ En þá er miðstærðin

$y_3=(8x+7) - (7x+2)=x+5$ .

Dæmi 10. Neðra stig 1991-92

Ef myndin hér til hliðar er klippt út og brotin saman þannig að út fæst teningur, þá er hliðin á móti hliðinni sem merkt er með $D$ merkt með

Lausn

Ef $A$ er framhlið teningsins, þá er $L$ á hliðinni sem snýr upp og $D$ á hliðinni sem snýr niður.

Dæmi 11. Neðra stig 1991-92

Hornpunktar samsíðungs $P Q R S$ í hnitasléttu hafa hnit $P=(-3,-1)$ , $Q=(0,a)$ , $R=(7,11)$ og $S=(b,c)$ . Talan $a + b + c$ er jöfn

Lausn

Þar sem hliðarnar $PQ$ og $SR$ eru jafn langar og samsíða, þá er mismunurinn á $x$ —hnitum $Q$ og $P$ sá sami og mismunurinn á $x$ —hnitum $R$ og $S$ eða $3=7-b$ . Eins fæst $a+1=11-c$ þegar við athugum $y$ —hnitin. En þá er $b=4$ og $a+c=10$ svo $a+b+c=14$ .

Dæmi 12. Neðra stig 1991-92

Myndin sýnir tvo ferninga, annan með hring innritaðan og hinn innritaðan í sama hring. Ef mismunurinn á flatarmálum ferninganna er $32$ , þá er geisli hringsins

Lausn

Með því að snúa minni ferningnum, þá getum við gert ráð fyrir að hornpunktar hans falli saman við snertipunkta hringsins við stærri ferninginn, eins og sýnt er á myndinni. Við tökum þá eftir að flatarmál stærri ferningsins er tvöfalt flatarmál þess minni. Til að sjá það drögum við einfaldlega hornalínur minni ferningsins. Ef við táknum flatarmál þess stærri með $F$ og þess minni með $f$ , þá höfum við jöfnurnar $F-f=32$ og $F=2f$ sem saman gefa $f=32$ og $F=64$ . Hliðarlengd stærri ferningsins er þá 8 og geisli hringsins 4.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 9. Neðra stig 1991-92

Dæmi 10. Neðra stig 1991-92

Dæmi 11. Neðra stig 1991-92

Dæmi 12. Neðra stig 1991-92