N2 | stæ.is

Dæmi 11. Neðra stig 1992-93

Gefinn er þríhyrningur $A B C$ og punktur $D$ á hliðinni $AB$ þannig að $|A D|=|C D|=|B C|$ og $\angle B A C= 40^\circ$. Hvað er hornið $\angle D C B$ stórt?

Lausn

Þríhyrningurinn $A D C$ er jafnarma, svo að hornin $\angle D C A$ og $\angle D A C$ eru jafn stór. þá er \[ \angle B D C = \angle D A C + \angle D C A = 2 \angle D A C = 80^\circ \] Þríhyrningurinn $B C D$ er einnig jafnarma svo $\angle D B C = \angle B D C$ og þá \[ \angle B C D = 180^\circ - 2 \angle B D C = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ \]

Dæmi 12. Neðra stig 1992-93

$OPQ$ er fjórðungur úr hring. Dregnir eru hálfhringir með miðstrengi $OP$ og $OQ$. Skyggðu svæðin hafa flatarmál $a$ og $b$ eins og merkt er á myndinni. Hvert er hlutfallið $\frac{a}{b}$?

Lausn

Flatarmál $b$ er jafnt flatarmáli hringfjórðungsins að frádregnu flatarmáli hálfhringanna tveggja og að viðbættu flatarmáli $a$ (því að flatarmál $a$ er reiknað með í báðum hálfhringunum). Þá fæst $$b=\frac{1}{4}\cdot \pi\cdot r^2-2\cdot\frac{1}{2}\cdot \pi\cdot\left(\frac{r}{2}\right)^2+a=a,$$ þar sem $r=|OP|$, svo að $\frac{a}{b}=1$.

Dæmi 13. Neðra stig 1992-93

Á þokudegi á hafi er skyggni $5$ mílur. Tvö skip $A$ og $B$ eru á siglingu í gagnstæðar áttir eftir samsíða línum sem eru $3$ mílur hvor frá annarri. Hraði skips $A$ er $8$ mílur á klukkustund. Skipin sjást hvort frá öðru í samfleytt $24$ mínútur. Hversu hratt siglir skip $B$ í mílum á klukkustund?

Lausn

Við getum einfaldað dæmið töluvert með því að velja okkur skynsamlegt viðmiðunarkerfi. Hugsum okkur að annað skipið sé kyrrt en hitt sigli með hraðanum $v+8$ mílur á klukkustund, þar sem $v$ táknar hraða skips $B$, það er, við hugsum okkur að við séum um borð í öðru skipinu, segjum skipi $A$. Regla Pýþagorasar gefur okkur þá að vegalengdin sem skip $B$ siglir meðan við sjáum í það er 8 mílur. Þar sem skipin sjást í 24 mínútur siglir skip $B$ framhjá okkur með hraða $8/(\frac{24}{60})=20$ mílur á klukkustund svo $v+8=20$ og þá $v=12$. Skip $B$ siglir því 12 mílur á klukkustund.

Dæmi 14. Neðra stig 1992-93

$ABCD$ er ferningur með hliðarlengd 12. Valdir eru punktar $E$, $F$ og $G$ á hliðunum $BC$, $CD$ og $DA$ (í þessari röð) þannig að $|BE|:|BC|=1:4$, $|DF|:|DC|=1:3$ og $|AG|:|AD|=1:2$. Hvert er flatarmál þríhyrningsins $GEF$?

Lausn

Nú er $|BE|=3$, $|EC|=9$, $|CF|=8$, $|FD|=4$, $|DG|=6$ og $|AG|=6$. Flatarmál þríhyrningsins $EFG$ er jafnt flatarmáli ferningsins $ABCD$ að frádregnum flatarmálum ferhyrningsins $BEGA$ og þríhyrninganna $ECF$ og $FDG$. En flatarmál $ABCD$ er $12^2=144$, flatarmál $BEGA$ er summa flatarmáls rétthyrnings með hliðarlengdir 3 og 12 og þríhyrnings með hæð 12 á grunnlínu af lengd 3 svo flatarmál $BEGA$ er $3\cdot 12+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 12=36+18=54$. Flatarmál $ECF$ er $\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 8=36$ og flatarmál $FDG$ er $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12$. Flatarmál þríhyrningsin $EFG$ er því $144-54-36-12=42$.

Dæmi 15. Neðra stig 1992-93

Lausnir jöfnunnar $x^2+p x+q=0$ eru þriðju veldin af lausnum jöfnunnar $x^2+m x+n=0$. Þá gildir

Lausn

Látum $a$ og $b$ vera lausnir jöfnunnar $x^2+mx+n=0$. Þá eru $a^3$ og $b^3$ lausnir jöfnunnar $x^2+px+q=0$. Nú vitum við að $$ \begin{aligned} x^2+mx+n =(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab,\\ x^2+px+q =(x-a^3)(x-b^3)=x^2-(a^3+b^3)+a^3b^3 \end{aligned} $$ svo að $a+b=-m, ab=n, a^3+b^3=-p$ og $a^3b^3=q$. Við notum þessar jöfnur og fáum að $$ \begin{aligned} p&=-a^3-b^3=3a^2b+3ab^2-(a+b)^3=3ab(a+b)-(a+b)^3\\ &=3n(-m)-(-m)^3=m^3-3mn. \end{aligned} $$

Dæmi 9. Neðra stig 1991-92

Algebrulegu stærðunum $2x+1$, $2x-3$, $x+2$, $x+5$ og $x-3$ má raða upp þannig að summa þriggja fyrstu er $4x+3$ og summa þriggju síðustu er $4x+4$. Stærðin í miðjunni er þá

Lausn

Látum $y_1,\, y_2,\, y_3,\, y_4,\, y_5$ vera slíka röðun. Þá er summa þeirra $$y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=7x+2$$ og summa þriggju fyrstu og þriggja seinustu er $$(y_1+y_2+y_3)+(y_3+y_4+y_5)=(4x+3)+(4x+4)=8x+7.$$ En þá er miðstærðin $y_3=(8x+7) - (7x+2)=x+5$.

Dæmi 10. Neðra stig 1991-92

Ef myndin hér til hliðar er klippt út og brotin saman þannig að út fæst teningur, þá er hliðin á móti hliðinni sem merkt er með $D$ merkt með

Lausn

Ef $A$ er framhlið teningsins, þá er $L$ á hliðinni sem snýr upp og $D$ á hliðinni sem snýr niður.

Dæmi 11. Neðra stig 1991-92

Hornpunktar samsíðungs $P Q R S$ í hnitasléttu hafa hnit $P=(-3,-1)$, $Q=(0,a)$, $R=(7,11)$ og $S=(b,c)$. Talan $ a + b + c $ er jöfn

Lausn

Þar sem hliðarnar $PQ$ og $SR$ eru jafn langar og samsíða, þá er mismunurinn á $x$—hnitum $Q$ og $P$ sá sami og mismunurinn á $x$—hnitum $R$ og $S$ eða $3=7-b$. Eins fæst $a+1=11-c$ þegar við athugum $y$—hnitin. En þá er $b=4$ og $a+c=10$ svo $a+b+c=14$.

Dæmi 12. Neðra stig 1991-92

Myndin sýnir tvo ferninga, annan með hring innritaðan og hinn innritaðan í sama hring. Ef mismunurinn á flatarmálum ferninganna er $32$, þá er geisli hringsins

Lausn

Með því að snúa minni ferningnum, þá getum við gert ráð fyrir að hornpunktar hans falli saman við snertipunkta hringsins við stærri ferninginn, eins og sýnt er á myndinni. Við tökum þá eftir að flatarmál stærri ferningsins er tvöfalt flatarmál þess minni. Til að sjá það drögum við einfaldlega hornalínur minni ferningsins. Ef við táknum flatarmál þess stærri með $F$ og þess minni með $f$, þá höfum við jöfnurnar $F-f=32$ og $F=2f$ sem saman gefa $f=32$ og $F=64$. Hliðarlengd stærri ferningsins er þá 8 og geisli hringsins 4.

Dæmi 13. Neðra stig 1991-92

Skál er fyllt með blöndu vatns og ediks í hlutföllum $2:1$. Önnur skál, sem tekur tvöfalt meira en sú fyrsta, er fyllt með blöndu vatns og ediks í hlutföllum $3:1$. Ef innihaldi skálanna tveggja er nú hellt í þriðja ílátið, þá er hlutfallið á milli vatns og ediks

Lausn

Látum $x$ tákna stærð minni skálarinnar í lítrum. Þá eru $\frac{1}{3}x$ lítrar ediks í fyrstu skálinni og $\frac{1}{4}\cdot 2x$ lítrar ediks í annarri skálinni. Því eru samanlagt $\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}x=\frac{5}{6}x$ lítrar ediks í fyrstu skálunum tveimur. Þegar búið er að hella yfir í þriðju skálina, þá eru þar samtals $3x$ lítrar og þar af eru $(\frac{5}{6}x)/(3x)=\frac{5}{18}$ hlutar edik. Þá eru $1-\frac{5}{18}=\frac{13}{18}$ hlutar vatn, svo hlutfall vatns og ediks er $13:5$.