E2 | stæ.is

Dæmi 11. Efra stig 1994-95

Finnið allar náttúrulegar tölur $m$ og $n$ þannig að $m^2-n^2=72$.

Lausn

Nú er $$(m+n)(m-n)=m^2-n^2=72=2^3\cdot 3^2$$ og út frá frumþáttuninni á $72$ getum við gert okkur eftirfarandi töflu yfir möguleg gildi á $m+n$ og $m-n$ eftir að við höfum tekið eftir að $m+n \gt m-n$ og að $m+n$ og $m-n$ eru báðar oddatölur eða báðar sléttar til að $m$ og $n$ séu heilar tölur.

Svarið lesum við svo úr töflunni.

Dæmi 13. Efra stig 1994-95

Ferningurinn $A B C D$ hefur hliðarlengd $8$. Hringur gegnum $B$ og $C$ snertir hliðina $A D$. Hver er geisli hringsins?

Lausn

Látum $O$ vera miðpunkt hringsins og $M$ tákna miðpunkts striksins $B C$. Þá er $|O M|=8-r$ og regla Pýþagorasar gefur okkur að $$ \begin{aligned} r^2&=|OC|^2=|MC|^2+|OM|^2=4^2+(8-r)^2 \\ &=r^2-16r+80. \end{aligned} $$ En þá er $r=5$.

Dæmi 14. Efra stig 1994-95

Finnið margliðu $p(x)$ þannig að $p(1-x)+2p(x)=x$.

Lausn

Ef við stingum $1-x$ inn fyrir $x$ í $p(1-x)+2p(x)=x$ fáum við $p(x)+2p(1-x)=1-x$. Ef við margföldum fyrri jöfnuna með 2 og drögum þá seinni frá þeirri fyrri fáum við að $$ 4p(x)-p(x)=2x-(1-x)=3x-1$$ og því er $p(x)=x-\frac{1}{3}$.

Dæmi 17. Neðra stig 1994-95

Látum $a,b,c,d$ tákna tölustafi. Finnið fjögurra stafa tölu $a b c d$ þannig að $$9\cdot a b c d=d c b a.$$

Lausn

Nú er $9\cdot a b c d=10\cdot a b cd -a b c d=a b c d 0-a b c d$ svo jafnan $9\cdot a b c d=d c b a$ er jafngild jöfnunni $a b c d 0=a b c d+d c b a$.

Nú er summa tveggja talna í menginu ${0,1,\ldots,9}$ í mesta lagi 18 svo við þurfum í mesta lagi að geyma einn þegar við leggjum saman í einingasætinu. En þá er summan í tugasætinu mest 19 svo þar þurfum við einnig í mesta lagi að geyma einn og svo koll af kolli. Þar sem $a$ er geymdur þegar lagt er saman í þúsundasætinu sjáum við að $a=1$. Þegar við lítum á einingasætið sjáum við þá að $d=9$ og einn er geymdur svo $1+c+b$ er 9 eða 19 og þá $c+b$ jafnt $8$ eða $18$. En seinna tilfellið kemur ekki til greina því þá er nauðsynlega $b=9$ en þegar við lítum á þúsundasætin sjáum við að $b$ er annaðhvort 0 eða 1 eftir því hvort 1 er geymdur frá hundruðasætunum. Því er $c+b=8$ og þá er enginn geymdur yfir í hundruðasætið. Summan þar er því $b+c=c$ svo að $b=0$ og þá er $c=8$. Talan okkar er því $abcd=1089$ og sjálfsagt að prófa svarið með því að reikna $9\cdot 1089=9000+720+81=9801$.

Dæmi 20. Neðra stig 1994-95

Hver er summa allra þriggja stafa talna sem innihalda bara tölustafina $1, 3, 5, 7, 9$.

Lausn

Við ætlum að leggja saman allar tölur af gerðinni $$ x\cdot 100+y\cdot 10+z, $$ þar sem $x,y$ og $z$ eru oddatölur á bilinu $1$ til $9$. Í hverju sæti kemur hver talnanna $1,3,5,7$ og $9$ fyrir $25$ sinnum því þegar við höfum valið eina þeirra í eitt sætið, þá má velja tölur í hin sætin á $5\cdot5=25$ vegu. Því er summan $$ (1+3+5+7+9)\cdot 25\cdot(100+10+1)=25\cdot 25\cdot 111=69.375. $$

Dæmi 15. Efra stig 1993-94

Finnið allar rauntölulausnir jöfnunnar $$ x^2+x = \frac{2}{x^2+x+1}. $$

Lausn

Byrjum á að athuga að margliðan $x^2+x+1$ hefur enga rauntölurót því aðgreinir hennar $1-4=-3$ er neikvæður. Jafnan sem við eigum að leysa er því jafngild jöfnunni $$(x^2+x)(x^2+x+1)=2.$$ Ef við setjum $t=x^2+x$ þá verður hún $t(t+1)=2$ og því $$0=t^2+t-2=(t+2)(t-1).$$ Þá er annaðhvort $t=-2$ eða $t=1$. Í fyrra tilfellinu er þá $x^2+x+2=0$ sem hefur enga rauntölulausn því aðgreinirinn $1-8=-7$ er neikvæður. Í seinna tilfellinu er $x^2+x-1=0$ sem hefur lausnirnar $\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$.

Dæmi 11. Efra stig 1993-94

Á myndinni eru $A$, $B$ og $C$ snerti-punktar. Punkturinn $C$ er á helmingalínu hornsins $\angle A D B$ og línurnar gegnum $C$ og $D$ eru samsíða. Hver er lengdin $x$?

Lausn

Látum $O$ vera miðpunkt hringsins. Þegar við framlengjum strikin $D A$ og $D B$ skera þau línuna gegnum $C$ í $P$ og $Q$. Nú er $O$ á helmingalínu hornsins $\angle A D B$ því $O$ er í sömu fjarlægð frá örmum þess. Punktarnir $D$, $O$ og $C$ eru því allir á sömu línunni. Þar sem $C$ er snertipunktur línunnar gegnum $P$ og $Q$ við hringinn, þá er $O C$ hornrétt á $P Q$ og því $C D$ hæðin á $P Q$ sem hefur lengdina $x+4$. Höfum nú að þríhyrningarnir $D C P$ og $D C Q$ eru einslaga og því þríhyrningurinn $P Q D$ jafnhliða. Þríhyrningarnir $O P Q$, $O D P$ og $O D Q$ hafa allir flatarmálið $$ \frac{1}{2}\cdot |P Q|\cdot |O C|=\frac{1}{2}\cdot 2y\cdot \frac{3}{2}=\frac{3y}{2} $$ þar sem $y$ er hálf hliðarlengd þríhyrningsins $D P Q$. Flatarmál $D P Q$ sem er $\frac{1}{2}\cdot 2y\cdot (x+4)=(x+4)y$ er jafnt samanlögðu flatarmáli $O P Q$, $O D P$ og $O D Q$ svo að $ 3\frac{3y}{2}=(x+4)y$ og því $x=\frac{9}{2}-4=\frac{1}{2}$.

Dæmi 14. Efra stig 1993-94

Þrjú pör halda veislu. Þegar hver veislugestur kemur inn í veislusalinn heilsar hann (eða hún) öllum þeim, sem þegar eru komnir, nema maka sínum. Þegar allir eru komnir spyr einn úr hópnum alla hina hversu mörgum þau heilsuðu við komuna og fær $5$ mismunandi svör. Hve mörgum heilsaði fyrirspyrjandi þegar hann kom inn?

Lausn

Látum $a$ vera þann sem kom fyrst í veisluna og $a\prime$ vera maka hans. Látum $b$ vera þann sem kom annar ef það var ekki $a\prime$. Annars látum við $b$ vera þriðja veislugestinn sem mætti og $b\prime$ vera maka hans. Látum $c$ vera þann sem kom fyrr af síðasta parinu og $c\prime$ vera maka hans. Þegar $a$ kom, þá heilsaði hann engum en $c\prime$ heilsaði öllum eða $4$. Sá sem spyr fær $5$ ólík svör og því var einhver sem heilsaði $1, 2$ og $3$.

Ef $a\prime$ kemur strax á eftir $a$, þá heilsar hvorugt þeirra neinum, en allir sem á eftir koma heilsa bæði $a$ og $a\prime$ og því að minnsta kosti tveimur. Þá er enginn sem heilsar aðeins einum svo þetta gengur ekki. Því er $b$ sá sem kemur á eftir $a$.

Ef $a\prime$ og $b\prime$ eru þeir sem koma næst, þá heilsar annar þeirra einum og hinn tveimur. Þá koma $c$ og $c\prime$ seinast og heilsa bæði fjórum. Þá er enginn sem heilsar þremur svo þetta stenst ekki. Þess vegna er $c$ þriðji eða fjórði í röðinni.

Ef $c$ er sá fjórði sem mætir, þá er $a\prime$ eða $b\prime$ sá þriðji. Sá þriðji heilsar þá $1$ og $c$ og allir sem á eftir honum koma heilsa $3$. Þá er enginn sem heilsar $2$ sem stenst ekki. Því er $c$ sá þriðji sem mætir.

Sá fjórði heilsar þá öllum nema maka sínum og heilsar því $2$. Sá fimmti heilsar öllum nema sínum maka og heilsar þá $3$ og sá síðasti heilsar öllum nema sínum maka og heilsar þá $4$. Sjáum þá að fyrirspyrjandi heilsaði $2$.

Dæmi 19. Neðra stig 1993-94

Hversu margar heilar tölur $n$, $1\le n\le500$, eru hvorki deilanlegar með $2$ né $3$?

Lausn

Þær tölur $n$, $1\leq n\leq 500$, sem $2$ ganga upp í eru tölurnar $$1\cdot 2, 2\cdot 2, 3\cdot 2,\ldots, 250\cdot 2=500$$ og eru 250 talsins. Þær tölur $n$ sem 3 ganga upp í eru $$1\cdot 3, 2\cdot 3, 3\cdot 3, \ldots, 166\cdot 3=498$$ og eru 166 talsins. Þær tölur $n$ sem bæði 2 og 3 ganga upp í eru nákvæmlega þær tölur sem $2\cdot 3=6$ ganga upp í. Það eru tölurnar $$1\cdot 6, 2\cdot 6, 3\cdot 6,\ldots, 83\cdot 6=498$$ og eru 83 talsins. Alls eru það þá $250+166-83=333$ tölur $n$ sem annaðhvort 2 eða 3 ganga upp í. Það eru því $500-333=167$ tölur $n$ sem hvorki 2 eða 3 ganga upp í.

Dæmi 20. Neðra stig 1993-94

Amma Önd var í sumar með ferningslaga kálgarð, sem er stærri en ferningslaga kálgarðurinn sem hún var með í fyrra. Af þessum sökum er uppskeran í ár $211$ kálhausum meiri en hún var þá. Hvað fékk Amma Önd marga kálhausa úr garðinum í haust?

Lausn

Stærð kálgarðsins er mæld í kálhausum. Þegar við segjum að hliðarlengd kálgarðsins í fyrra hafi verið $x$ þá meinum við að hægt sé að rækta $x$ kálhausa í röð eftir hliðinni. Þá var uppskeran í fyrra $x^2$ kálhausar og ef hliðarlengd kálgarðsins er núna $y$ þá er uppskeran í ár $y^2$ kálhausar. Því er $211=y^2-x^2=(y+x)(y-x)$. Þar sem $211$ er frumtala og Amma Önd ræktar einungis heila kálhausa fæst að $x+y=211$ og $y-x=1$, sem gefur $y=106$ og $x=105$. Uppskeran í haust er því $106^2=(100+6)^2=10.000+1200+36=11.236$ kálhausar.