Athugum að punkturinn $M$ skiptir strikunum $DL$ og $BK$ í hlutföllunum $1:2$ þar sem $M$ er skurðpunktur miðlínanna í þríhyrningnum $BCD$. Látum $P$ og $Q$ vera skurðpunkta línunnar gegnum $M$ samsíða $AB$ við strikin $AD$ og $BC$. Látum $R$ og $S$ vera skurðpunkta línunnar gegnum $M$ samsíða $BC$ við strikin $AB$ og $DC$. Þá skiptir $M$ strikunum $PQ$ og $RS$ einnig í hlutföllunum $1:2$ því þríhyrningarnir $PMD$ og $QML$ annarsvegar og $RMB$ og $SMK$ hinsvegar eru einslaga. Flatarmál tígulsins $SMQC$ er þá $\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$ af flatarmáli $ABCD$ og flatarmál hvors þríhyrninganna $KMS$ og $LMQ$ er $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}$ af flatarmáli $ABCD$ því $|KS|=|KC|-|SC|$ er $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ hluti lengdar $DC$. Samtals er flatarmál $KMLC$ þá $\frac{1}{9}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}$ af flatarmáli $ABCD$.

Svar: $89$

Lausn: Röðum tölunum fjórum eftir stærð og köllum þær $a, b, c$ og $d$, þannig að $d$ er stærst. Minnsta summa þriggja þeirra er $a + b + c = 180$. Ef viðleggjum saman $180 + 197 + 208 + 222 = 807$, fáum við út tölu sem er jöfn $3(a+b+c+d)$ og því er $a+b+c+d = 269$. Frá því drögum við $a + b + c = 180$ og ályktum að $d = 89$.

Svar: Einar og Lárus eru lygarar.

Lausn: Einar og Lárus eru lygarar. Lausn: Er mögulegt að Einar segi satt? Ef Einar segir satt, þá er Friðrik lygari því Einar segir það og einnig er Rögnvaldur lygari því hann segir að Einar ljúgi. Fyrri staðhæfing Lárusar, um að Einar og Friðrik séu lygarar, er því lygi og samkvæmt því er Lárus lygari. Aftur á móti er seinni staðhæfing Lárusar, að Rögnvaldur sé lygari, sönn, og samkvæmt því er Lárus ekki lygari. Þetta fær ekki staðist, svo útilokað er að Einar segi satt.

Við getum nú gengið út frá því að Einar ljúgi. Þá vitum við að Friðrik er ekki lygari, því að staðhæfing Einars um að Friðrik sé lygari er lygi. Einnig sjáum við að Rögnvaldur er ekki lygari, því að fullyrðing hans um að Einar sé lygari er sönn. Lárus lýgur þegar hann segir að bæði Einar og Friðrik séu lygarar. Því eru það Einar og Lárus sem eru lygarar, en Friðrik og Rögnvaldur segja alltaf satt. (Í hópnum sem samdi þessa keppni eru fjórir menn sem heita einmitt Einar, Friðrik, Lárus og Rögnvaldur. Þegar þeir voru spurðir hvort að í dæminu væri verið að fjalla um þá sögðu tveir já, en tveir neituðu.)

Svar:9

Lausn: Látum $n$ tákna fjölda liða. Hvert lið leikur einn leik á móti hverju hinna og leikur því $n - 1$ leik. Því eru alls leiknir $\frac{n\cdot (n - 1)}{2}$ leikir á mótinu. Heildarfjöldi vinninga sem liðin fá er því $\frac{n\cdot (n - 1)}{2}$. Upplýsingar okkar segja að efsta liðið fékk $n - 2$ vinninga, neðsta liðið fékk $1$ vinning, og hin liðin, $n - 2$ að tölu, fengu $4$ vinninga hvert. Heildar fjöldi vinninga er því $(n-2)+1+(n-2)\cdot 4=5 n - 9$. Fáum þá jöfnuna \[ \frac{n\cdot (n - 1)}{2} = 5n - 9 , \] Sem er jafngild jöfnunni $n^2 - 11n + 18 =0$. Þegar þessi jafna er leyst fæst að $n=2$ eða $n=9$. Það að bara tvö lið hafi verið í mótinu fær ekki staðist, þá er bara leikinn einn leikur og samkvæmt forsendunum þá vinnur neðsta liðið þann leik og er því ekki neðst! Liðin eru því $9$.