Dæmi 19 Efra stig 1997-1998

Í Maraþonhlaupi (42 km) eru 11 drykkjarstöðvar fyrir keppendur. Köllum drykkjar-stöð-varnar $A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K$, og gerum ráð fyrir að þær raðist meðfram hlaupabrautinni eins og sýnt er á myndinni. Drykkjarstöð $A$ er við upphaf brautarinnar og drykkjarstöð $K$ við enda brautarinnar. Stöðvunum er raðað þannig að samanlögð lengd tveggja sam-liggjandi bila á milli stöðva sé ekki meiri en 10 km, og að samanlögð lengd þriggja samliggjandi bila er að minnsta kosti 13 km. Hversu langt er á milli stöðvanna sem merktar eru með $B$ og $G$?

Lausn

Lausn: Við höfum að $$ |AB|+|BC|+|CD|+|DE|+|EF|$$ $$+|FG|+|GH|+|HI|+|IJ|+|JK|=42. $$ Vegna þess að samanlögð lengd þriggja samliggjandi bila er aldrei minni en 13, þá er $$ (|BC|+|CD|+|DE|)+(|EF|+|FG|+|GH|)$$ $$+(|HI|+|IJ|+|JK|)\geq 39. $$ Af þessu leiðir að $|AB|\leq 3$. Við höfum einnig að $|AB|+|BC|+|CD|\geq 13$, svo að $|BC|+|CD|\geq 10$. En lengd tveggja samliggjandi bila er ekki meiri en 10, svo $|BC|+|CD|=10, |AB|=3$ og $|AB|+|BC|+|CD|=13$. Ef litið er aftur á fyrstu jöfnuna hér að ofan sést að $$|DE|+|EF|+|FG|+|GH|+|HI|+|IJ|+|JK|=29,$$ en með því að nota aftur að lengd þriggja samliggjandi bila er aldrei minni en 13 sést að $$(|EF|+|FG|+|GH|)+(|HI|+|IJ|+|JK|)\geq 26,$$ svo $|DE|\leq 3$. Eins og áður fæst nú að $|DE|=3$ og $|EF|+|FG|=10$. Nú er bilið milli $B$ og $G$ jafnt $$ |BC|+|CD|+|DE|+|EF|+|FG|$$ $$=(|BC|+|CD|)+|DE|+(|EF|+|FG|)$$ $$ =10+3+10=23. $$

stæ.is

Dæmi 19 Efra stig 1997-1998