1995-96 | stæ.is

Dæmi 17. Neðra stig 1995-96

Skrifum samlægar sléttar tölur, $31$ talsins, í röð þannig að síðasta talan sé jöfn summu $13$. og $15$. talnanna. Hver er miðtalan í röðinni?

Lausn

Ef við höfum $31$ slétta tölu í röð, þá getum við skrifað þær sem $$2(n+1), 2(n+2),\ldots, 2(n+31).$$ Tala númer 13 er þá $2(n+13)$ og númer 15 er $2(n+15)$. Ef síðasta talan, $2(n+31)$, er jöfn summu $13$. og $15$. tölunnar, þá er $2(n+31)=2(n+13)+2(n+15)$ svo að $31=n+28$ og þá $n=3$. Þá er talan í miðjunni, tala númer 16, jöfn $2( 3+16)=2\cdot 19=38$.

Dæmi 18. Neðra stig 1995-96

Hver er $1995$. aukastafurinn þegar almenna brotið $\frac{1}{13}$ er skrifað sem tugabrot?

Lausn

Þá er $\frac{1}{13}=0,\overline{076923}$. Nú er $1995=332\cdot 6+3$ svo að $1995$. aukastafur $\frac{1}{13}$ er sá sami og þriðji aukastafurinn eða $6$.

Dæmi 19. Neðra stig 1995-96

Þríhyrningurinn $A B C$ á myndinni er rétthyrndur, auk þess er $|D E|=\frac{1}{4}|A B|$. Hvað er flatarmál skyggða rétthyrnda ferhyrningsins stór hluti af flatarmáli þríhyrningsins?

Lausn

Setjum $a=|B C|$, $b=|A C|$ og $c=| A B |$. Þá er $| D E |=\frac{1}{4}c$. Látum $F$ og $G$ vera hornpunkta rétthyrningsins sem liggja á hliðunum $B C$ og $AC$. Þríhyrningarnir $F G C$ og $A B C$ eru einslaga svo að $$ \frac{|C F|}{\frac{1}{4}c}=\frac{|C F|}{|F G|}=\frac{|B C|}{|A B|}=\frac{a}{c}$$ og því $|C F|=\frac{1}{4}a$. Þríhyrningarnir $F B E$ og $A B C$ eru einnig einslaga svo að $$ \frac{|E F|}{\frac{3}{4}a}=\frac{|E F|}{|B F|}=\frac{|A C|}{|A B|}=\frac{b}{c}$$ og því $|E F|=\frac{3 a b}{4 c}$. Hlutfallið milli flatarmála rétthyrningsins $D E F G$ og þríhyrningsins $A B C$ er þá $$\frac{|D E F G|}{|A B C|}=\frac{|E F|\cdot |D E|}{\frac{1}{2}|A C|\cdot | B C |} =\frac{\frac{3 a b}{4 c}\cdot \frac{1}{4}c}{\frac{1}{2}a b}=\frac{3}{8}.$$

Dæmi 20. Neðra stig 1995-96

Talnamengin $A_1, A_2, A_3,\ldots$ eru mynduð samkvæmt eftirfarandi mynstri: $$A_1=\{1\},\, A_2=\{2, 3\},\, A_3=\{4, 5, 6\},\, A_4=\{7, 8, 9, 10\}, \ldots$$ Hver er summa talnanna í menginu $A_{21}$?

Lausn

Sjáum að í mengi $A_n$ eru $n$ tölur og minnsta talan er næsta tala á eftir $1+2+\cdots+(n-1)$. Nú er $1+2+\cdots+20=21\cdot 10=210$ svo $A_{21}=\{211,212,\ldots,231\}$. Summa talnanna í $A_{21}$ er þá $$211+212+\cdots+231=\frac{1}{2}\cdot (211+231)\cdot 21=221\cdot 21=4641.$$

Dæmi 21. Neðra stig 1995-96

Þrír hringir með geislann $1$ og einn stór hringur eru lagðir eins og myndin sýnir. Ákvarðið flatarmál stóra hringsins. (Svarið á að vera á forminu $(\frac{a+b\sqrt{3}}{c})\pi$ þar sem $a, b$ og $c$ eru heilar tölur).

Lausn

Miðpunktar hringanna mynda jafnhliða þríhyrning með hliðarlengd 2. Geisli stóra hringsins er þá 1 að viðbættri lengdinni frá einum hornpunkti þríhyrningsins að miðpunkti hans. Látum $O$ vera miðpunkt þríhyrningsins og $A$, $B$ og $C$ vera hornpunkta hans. Látum $D$ vera miðpunkt hliðarinnar $BC$. Nú er $D$ jafnframt fótpunktur hæðarinnar á $BC$ svo regla Pýþagroasar gefur að $|AD|=\sqrt{|AB|^2-|BD|^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$. Þar sem miðlínur þríhyrnings skipta hver annarri í hlutföllunum $1:2$, þá er $|OA|=\frac23\sqrt{3}$ svo að geisli stóra hringsins er $1+\frac{2\sqrt3}{3}=\frac{3+2\sqrt{3}}{3}$. Flatarmál stóra hringsins er þá $$ \pi \left(\frac{3+2\sqrt{3}}{3} \right)^2 =\left(\frac{21+12\sqrt{3}}{9} \right)\pi =\left(\frac{7+4\sqrt{3}}{3} \right)\pi.$$

Dæmi 6. Neðra stig 1995-96

Sexhyrnd stjarna er mynduð með því að framlengja hliðarnar í reglulegum sexhyrningi. Ef ummál sexhyrningsins er $21$, þá er ummál stjörnunnar

Lausn

Þegar við framlengjum hliðarnar fáum við jafnhliða þríhyrninga á hverja hlið sexhyrningsins. Í stað hverrar hliðar sexhyrningsins koma þá hinar tvær hliðarnar á þríhyrningunum. Sjáum þá að ummálið tvöfaldast og verður því $2\cdot 21=42$.

Dæmi 7. Neðra stig 1995-96

Mamma og hjúkrunarkonan þurfa að vigta Gutta í fjögurra ára skoðuninni. Gutti vildi aldrei vera kyrr á vigtinni, gretti sig og bara hló. Að lokum gripu þær til þess ráðs að mamma sté á vigtina og hélt á Gutta, og hjúkrunarkonan las $78$ kg, síðan hélt hjúkrunarkonan á Gutta og mamma las $97$ kg og að endingu hélt mamma á hjúkrunarkonunni og Gutti las $141$ kg af vigtinni. Hvað er Gutti þungur?

Lausn

Táknum þyngd mömmu með $M$, þyngd hjúkrunarkonunnar með $H$ og þyngd Gutta með $G$. Þá er $M+G=78$, $H+G=97$ og $M+H=141$. Þegar við leggjum saman fyrstu tvær jöfnurnar fáum við að $2G+H+M=78+97=175$ og þar sem $M+H=141$ fæst að $2G=175-141=34$ og því $G=17$. Gutti er því 17 kg.

Dæmi 8. Neðra stig 1995-96

Sjöunda rót tölunnar $7^{(7^7)}$ er

Lausn

Höfum að $$\sqrt[7]{7^{\left(7^7\right)}} =\left(7^{\left(7^7\right)}\right)^{\frac{1}{7}} =7^{\left(7^7\cdot \frac{1}{7}\right)}=7^{\left(7^6\right)}.$$

Dæmi 9. Neðra stig 1995-96

Ef $3^x+2^y=985$ og $3^x-2^y=473$, þá er $x+y$ jafnt

Lausn

Þar sem $3^x+2^y=985$ og $3^x-2^y=473$, þá er $3^x=\frac{1}{2}(985+473)=729=3^6$ og $2^y=\frac{1}{2}(985-473)=256=2^8.$ Þá er $x=6$ og $y=8$ svo að $x+y=14$.

Dæmi 10. Neðra stig 1995-96

Tveir hornréttir miðstrengir eru dregnir í hring með geislann $2$ og síðan allir mögulegir strengir samsíða þeim í fjarlægðinni $1$, eins og sýnt er á myndinni. Samlögð lengd þessara sex strengja er

Lausn

Látum $x$ tákna hálfa lengd þeirra strengja sem liggja ekki í gegnum miðpunkt hringsins. Þríhyrningurinn á myndinni er rétthyrndur og regla Pýþagorasar gefur að $1^2+x^2=2^2$ svo að $x=\sqrt{3}$. Þá er lengd hvers af strengjunum sem eru ekki miðstrengir $2\sqrt{3}$ og lengd þeirra samtals $4\cdot 2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$. Lengd miðstrengjanna er $2\cdot 4=8$ og því heildarlengd strengjanna sex $8+8\sqrt{3}=8(1+\sqrt{3})$.