Fjölval | stæ.is

Dæmi 3. Neðra stig 1991-92

Talan $\displaystyle\frac{\frac{3}{7} -1}{1-\frac{7}{3}}$ er jöfn

Lausn

Höfum að $$\frac{\frac{3}{7} - 1}{1-\frac{7}{3}} =\frac{ -\frac{4}{7} }{ -\frac{4}{3} }=\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{7}.$$

Dæmi 20. Neðra stig 1991-92

Talan $(1^2+3^2+5^2+\cdots+99^2)-(2^2+4^2+6^2+\cdots+100^2)+ (4+8+12+\cdots+200)$ er jöfn

Lausn

Ef við tökum saman $k$-tu liðina í hverjum sviga, þá eru þeir $$(2k-1)^2-(2k)^2+4k=-4k+1+4k=1.$$ Þeir eru 50 talsins, svo summan er 50.

Dæmi 4. Neðra stig 1991-92

Ummál rétthyrningsins, sem er sýndur hér, er

Lausn

Gagnstæðar hliðar eru jafn langar í rétthyrningum svo að $3x=15$. Þá er $x=5$ og ummálið því $2(15+(6\cdot 5 + 4))= 2\cdot 49=98$.

Dæmi 21. Neðra stig 1991-92

Á hversu marga vegu er unnt að skrifa töluna $135$ sem summu tveggja eða fleiri náttúrlegra talna í röð?

Lausn

Skrifum tölurnar sem $n,\, n+1,\, \ldots, n+k$. Þá er summa þeirra $\frac{1}{2}(k+1)(2n+k)$ svo að $(k+1)(2n+k)=2\cdot 135=270$. Nú er $2\cdot 3^3\cdot 5$ frumþáttun $270$ og $2n+k\geq k+1\geq 1$. Við gerum okkur eftirfarandi töflu yfir möguleg gildi $k+1$ og $2n+k$ og reiknum út möguleg gildi $n$.

$k+1$	$2$	$3$	$5$	$6$	$9$	$10$	$15$
$2 n + k$	$135$	$90$	$54$	$45$	$30$	$27$	$18$
$k$	$1$	$2$	$4$	$5$	$8$	$9$	$14$
$n$	$67$	$44$	$25$	$20$	$22$	$9$	$2$

Sjáum þá að alls er hægt að skrifa 135 sem summu tveggja eða fleiri náttúrlegra talna í röð á 7 vegu.

Dæmi 6. Neðra stig 1991-92

Ef talan $\displaystyle\frac{5(10^{12}-1)}{9}$ er skrifuð í tugakerfinu, hversu oft kemur tölustafurinn 5 fyrir?

Lausn

Höfum að$$ \begin{aligned} \frac{5(10^{12}-1)}{9}&=\frac{5}{9}\cdot 999.999.999.999 =5\cdot 111.111.111.111\\ &=555.555.555.555. \end{aligned}$$

Dæmi 9. Efra stig 1991-92

Fjöldi lausna á jöfnunni $3\pi(1-\cos (x))=2x$ er

Lausn

Fjöldinn er jafn fjölda skurðpunkta grafa fallanna $f(x)=\cos (x)$ og $g(x)=1-\frac{2x}{3\pi}$. Hann er 3.

Dæmi 7. Neðra stig 1991-92

Minnsta jákvæða náttúrlega tala sem allar náttúrlegar tölur frá $1$ upp í $10$ ganga upp í er

Lausn

Minnumst þess að frumtala er náttúrleg tala stærri en eða jöfn 2, þannig að engar aðrar tölur en 1 og hún sjálf ganga upp í hana. Fyrstu frumtölurnar eru 2, 3, 5, 7, 11, 13. Frumþættir náttúrlegrar tölu $n$ eru þær frumtölur sem ganga upp í $n$. Minnsta samfeldi gefinna náttúrlegra talna er minnsta talan sem allar gefnu tölurnar ganga upp í. Af þeirri staðreynd að sérhverja náttúrlega tölu má skrifa ótvírætt sem margfeldi frumþátta sinna leiðir, að minnsta samfeldi gefinna talna er margfeldi velda af frumþáttum þeirra, og hver frumþáttur kemur fyrir í hæsta veldi þa hæstu velda þeirra frumþátta gefnu talnanna sem ganga upp í einhverja af gefnu tölunum. Taflan hér að neðan gefur frumþáttun talnanna frá 1 upp í 10 og af henni lesum við að minnsta samfeldi þeirra er $2^3\cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7=2520$.

Dæmi 10. Efra stig 1991-92

Tveir hringir í sléttu hafa sama geisla og miðpunktur hvors hrings liggur á hinum hringnum. Ef geislinn er jafn 1, þá er flatarmál svæðisins sem er innan í báðum hringunum jafnt:

Lausn

Látum $A$ og $B$ tákna miðpunkta hringanna og $C$ vera annan skurðpunkta þeirra. Þá er þríhyrningurinn $ABC$ jafnhliða því allar hliðar hans eru geislar hringanna. Táknum flatarmál hringgeirans sem hornið $\angle ABC$ spannar með $F_{AC}$ og flatarmál hringgeirans sem hornið $\angle BAC$ spannar með $F_{BC}$. Þar sem þríhyrningurinn $ABC$ er jafnarma er $F_{AC}=F_{BC}$ sjöttihluti flatarmáls hvors hrings eða $\frac{\pi}{6}$. Flatarmál þríhyrningsins $ABC$ er $\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{4}$. Þá er flatarmálið sem er innaní báðum hringunum $4\cdot \frac{\pi}{6}-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Dæmi 8. Neðra stig 1991-92

Ef talan $p$ er valin úr menginu $\{ 1 , 3 , 5 \}$ og $q$ er valin úr menginu $\{ 2 , 4 , 6 , 8 \}$, þá er fjöldi möguleika á því að velja $p$ og $q$ þannig að $p+q\lt 11$ jafn

Lausn

Ef $p=1$, þá er $p+q\lt 11$ fyrir öll $q$. Ef $p=3$ þá er $p+q\lt 11$ fyrir öll $q$ nema $q=8$ og ef $p=5$ þá er $p+q\lt 11$ fyrir öll $q$ nema $q=6$ og $q=8$. Það eru því alls $4+3+2=9$ möguleikar á að velja $p$ og $q$ þannig að $p+q\lt 11$.

Dæmi 11. Efra stig 1991-92

Á hversu marga vegu er unnt að skrifa töluna $875$ sem summu tveggja eða fleiri náttúrlegra talna í röð?

Lausn

Táknum talnaröðina með $n+(n+1)+\cdots+(n+k)$. Þá er summan $\frac{1}{2}(k+1)(2n+k)$ svo að $(k+1)(2n+k)=2\cdot 875=1750$. Nú er $2^2\cdot 5^2\cdot 17$ frumþáttun $1750$ og $2n+k\geq k+1\geq 1$ sem við notfærum okkur til að gera eftirfarandi töflu yfir möguleg gildi á $k+1$ og $2n+k$.

$k+1$	2	5	7	10	14	25	35
$2 n + k$	875	350	250	175	125	70	50
$k$	$1$	$4$	$6$	$9$	$13$	$24$	$34$
$n$	$437$	$173$	$122$	$83$	$56$	$23$	$8$

Sjáum að það má á alls 7 vegu skrifa 875 sem summu tveggja eða fleiri náttúrlegra talna í röð.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 3. Neðra stig 1991-92

Dæmi 20. Neðra stig 1991-92

Dæmi 4. Neðra stig 1991-92

Dæmi 21. Neðra stig 1991-92

Dæmi 6. Neðra stig 1991-92

Dæmi 9. Efra stig 1991-92

Dæmi 7. Neðra stig 1991-92

Dæmi 10. Efra stig 1991-92

Dæmi 8. Neðra stig 1991-92

Dæmi 11. Efra stig 1991-92

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK