Punktur $P$ er valinn innan í þríhyrningnum $A B C$. Í gegnum $P$ eru dregnar línur samsíða hliðum þríhyrningsins. Þá myndast þrír minni þríhyrningar, sem hafa flatarmál $4$, $9$ og $49$. Hvert er flatarmál stóra þríhyrningsins $ABC$?
Lausn
Lausn : Látum $D$ og $E$ vera skurðpunkta línanna gegnum $P$ við $AB$ og $F$ og
$G$ vera skurðpunkta hliðanna $A C$ og $BC$ við línuna gegnum $P$ sem er
samsíða $A B$.
Á myndinni eru þrjú pör af samsíða línum. Af því má
álykta að litlu þríhyrningarnir þrír og sá stóri eru allir einslaga.
Einnig má álykta að strikin $FP$ og $AD$ séu jafn löng, og sömu leiðis
$P G$ og $E B$ (því mótlægar hliðar í samsíðungi eru jafn langar). Látum
$x$ tákna lengd $F P$ og $A D$, og $y$ tákna lengd $P G$ og $E B$, og $z$
tákna lengd $DE$. Athugum nú, að ef hlutfall samsvarandi hliða tveggja
einslaga þríhyrninga er $k$, þá er hlutfall flatarmála þeirra $k^2$
(sbr. dæmi 10). Því fæst
$\left(\frac{y}{x} \right)^2=\frac{9}{4}$ svo
að $\frac{y}{x}=\frac{3}{2}$ og
$\left(\frac{z}{x} \right)^2=\frac{49}{4}$ svo að
$\frac{z}{x}=\frac{7}{2}$. Lengd $A B$ er $x+y+z$ og
$$\frac{x+y+z}{x}=1+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}=1+\frac{3}{2}+\frac{7}{2}=6.$$
Því eru hliðar þríhyrningsins $A B C$ sexfalt lengri en samsvarandi
hliðar þess minnsta, og flatarmál $A B C$ því 36 sinnum stærra, eða
$36\cdot 4=144$.