Skip to Content

Dæmi 1. Úrslitakeppni 1991-92

Látum $P(x)$ vera margliðu af stigi $n-1$ þannig að $P(k)=\frac 1k$ fyrir $k=1$, 2, $\dots$, $n$. Finnið $P(n+1)$.

Dæmi 2. Úrslitakeppni 1991-92

Sýnið að fyrir sérhverjar rauntölur $a, b, c, d \gt 0$ gildir $$ a b c d (a^{-3}+b^{-3}+c^{-3}+d^{-3})\ge a+b+c+d $$

Dæmi 3. Úrslitakeppni 1991-92

Látum $ABCDEF$ og $FGHIJK$ vera misstóra reglulega sexhyrninga með nákvæmlega einn sameiginlegan punkt $F$ þannig að punktarnir $C$, $F$ og $I$ liggja á beinni línu (sjá mynd). Látum hringinn gegnum punktana $A$, $F$ og $K$ skera línuna $CI$ í punkti $L$ þannig að $L \ne F$. Sýnið að:

(a) $ALK$ er jafnhliða þríhyrningur.

(b) $L$ er miðpunktur striksins $CI$.

Dæmi 4. Úrslitakeppni 1991-92

Finnið öll föll $f(x)$, þannig að $$ x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4 $$ fyrir allar rauntölur $x$.

Dæmi 5. Úrslitakeppni 1991-92

Í skóla nokkrum eru $1000$ nemendur. Í skólanum er kenndur fjöldi tungumála. Hver nemandi lærir í mesta lagi $5$ tungumál. Svo vill til, að í sérhverjum hópi þriggja nemenda er hægt að finna tvo sem læra sama tungumálið. Sýnið að hægt sé að finna að minnsta kosti $100$ nemendur sem læra allir sama tungumálið.

Syndicate content