1994-95 | stæ.is

Dæmi 5. Neðra stig 1994-95

Látum $y\gt 0$ og $x=-y$. Hver eftirfarandi fullyrðinga er röng?

Lausn

Fullyrðingin $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=0$ segir að $x=y$ sem getur ekki verið því $x=-y$ og $y\gt 0$ svo önnur talnanna $x$ eða $y$ er jákvæð en hin neikvæð.

Dæmi 6. Neðra stig 1994-95

Talan sem þarf að leggja við $\frac{1}{b+2}$ til að fá $\frac{1}{b}$ er

Lausn

Látum $x$ tákna töluna sem þarf að leggja við $\frac{1}{b+2}$ til að fá $\frac{1}{b}$. Þá er $x+\frac{1}{b+2}=\frac{1}{b}$ svo að $$ x=\frac{1}{b}-\frac{1}{b+2}=\frac{(b+2)-b}{b(b+2)}=\frac{2}{b(b+2)}.$$

Dæmi 7. Neðra stig 1994-95

Flatarmál skyggða svæðisins á myndinni er

Lausn

Ef við klippum ferning með hliðarlengdir $16$ eftir hornalínunum, þá fáum við óskyggðu þríhyrningana fjóra á myndinni. Flatarmál óskyggða svæðisins er þá $16^2$ svo að flatarmál skyggða svæðisins er $$20^2-16^2=(20-16)(20+16)=4\cdot 36=120+24=144.$$

Dæmi 8. Neðra stig 1994-95

Skurðgrafa er einn klukkutíma að grafa holu sem er $3$ metrar að lengd, $3$ metrar að breidd og $3$ metrar að dýpt. Hve lengi eru tvær samskonar gröfur sem vinna á sama hraða að grafa holu sem er $6$ metra löng, $6$ metra breið og $6$ metrar djúp?

Lausn

Ein skurðgrafa grefur $3^3$ rúmmetra á klukkustund svo að tvær skurðgröfur grafa $2\cdot 3^3$ rúmmetra á klukkustund. Tíminn sem það tekur tvær skurðgröfur að grafa $6^3$ rúmmetra er því $$ \frac{6^3}{2\cdot 3^3}=\frac{2^3\cdot 3^3}{2\cdot 3^3}=2^2=4$$ klukkustundir.

Dæmi 9. Neðra stig 1994-95

Jörmunrekur hefur keyrt $80.000$ km án þess að kaupa ný dekk. Hve marga kílómetra hefur hvert dekkjanna fimm verið notað ef varadekkið hefur verið notað til jafns við hin dekkin?

Lausn

Ef öll fimm dekkin hafa verið notuð jafn mikið, þá hefur hvert þeirra verið varadekk fimmta hlutann af heildar vegalengdinni eða $80.000/5=16.000$ km. Hvert þeirra hefur þá verið undir bílnum $80.000-16.000=64.000$ km.

Dæmi 10. Neðra stig 1994-95

Hornin $\angle A B C$ og $\angle B C D$ eru bæði $90^\circ$. Lengd striksins $d$, sem er hornrétt á $B C$, er

Lausn

Látum $P$ vera skurðpunkt strikanna $A C$, $B D$ og látum $Q$ vera fótpunkt lóðlínunnar á $B C$ í gegnum $P$. Þá er $d=|P Q|$. Setjum $x=|B Q|$. Nú eru þríhyrningarnir $B P Q$ og $B D C$ einslaga því hornin $\angle P B Q$ og $\angle D B C$ eru jafn stór og hornin $\angle P Q B$ og $\angle D C B$ eru bæði rétt. Því er $\frac{d}{x}=\frac{20}{10}=2$. Eins eru þríhyrningarnir $C P Q$ og $C A B$ einslaga svo að $\frac{d}{10-x}=\frac{30}{10}=3$. Þá er $d=30-3x=30-\frac{3}{2}d$ svo að $d=\frac{2}{5}\cdot 30=12$.

Dæmi 11. Neðra stig 1994-95

Þríhyrningurinn $A B C$ er jafnhliða með hliðalengd 12. Ef $E$ er miðpunktur hæðarinnar $A D$ þá er lengd striksins $B E$ jöfn

Lausn

Við beitum reglu Pýþagorasar á þríhyrningana $B A D$ og $B E D$ og fáum að $$|A D|=\sqrt{|B A|^2-| B D|^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{108}$$ og $$|B E|=\sqrt{|B D|^2+|E D|^2}=\sqrt{6^2+27}=\sqrt{63}$$ því $|E D|=\frac{1}{2}|A D|=\sqrt{108/4}=\sqrt{27}$.

Dæmi 12. Neðra stig 1994-95

Ef $x^2=x+3$, þá er $x^3$ jafnt og

Lausn

Þar sem $x^2=x+3$, þá er $$ x^3=x\cdot x^2=x(x+3)=x^2+3x=(x+3)+3x=4x+3.$$

Dæmi 13. Neðra stig 1994-95

Ef það eru fimm sunnudagar í desember, þá gæti aðfangadagur verið á

Lausn

Í desembermánuði eru $31$ dagur en fjöldi daga milli fimm sunnudaga, að þeim báðum meðtöldum, er $29$. Því er einhver af síðustu þremur dögunum í mánuðnum sunnudagur og því ber $31$. desember upp á einhvern af dögunum sunnudag, mánudag eða þriðjudag. En aðfangadagur er nákvæmlega viku á undan $31$. desember svo aðfangadag ber einnig upp á sunnudag, mánudag eða þriðjudag. Af þeim valmöguleikum sem gefnir eru kemur því sunnudagur einn til greina.

Dæmi 14. Neðra stig 1994-95

Í þingflokki Bandalags framsækinna sjálfstæðra alþýðukvenna eru níu konur. Á vegum þingflokksins starfa ýmsar nefndir:

Fjárhagsnefnd: Anna, Jóhanna og María.
Sjávarútvegsnefnd: Anna, Björk og Sunna.
Landbúnaðarnefnd: Dröfn, Erla og Sunna.
Iðnaðarnefnd: Björk, Erla, Hrefna og Jóhanna.
Viðskiptanefnd: Björk, Dröfn og Þóra.

Hver þingkona getur sökum anna bara sótt fund í einni nefnd á dag. Hver er minnsti fjöldi daga sem dugar til að það náist að halda fundi í öllum nefndunum?

Lausn

Nú er Björk í þremur nefndum, Sjávarútvegsnefnd, Iðnaðarnefnd og Viðskiptanefnd, svo fundir þessara nefnda verða að vera hver á sínum deginum. Nú sitja Dröfn, Erla og Sunna í Landbúnaðarnefnd, en hver þeirra situr í einhverri af nefndunum hér að ofan svo Landbúnaðarnefnd getur ekki komið saman á sama degi og fundað er í Sjávarútvegsnefnd, Iðnaðarnefnd eða Viðskiptanefnd. Það þarf þá að minnsta kosti fjóra daga til að halda fundi í þessum fjórum nefndum. Nú situr enginn nefndarmanna bæði í Fjárhagsnefnd og Landbúnaðarnefnd svo unnt er að funda samdægurs í þessum nefndum.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 5. Neðra stig 1994-95

Dæmi 6. Neðra stig 1994-95

Dæmi 7. Neðra stig 1994-95

Dæmi 8. Neðra stig 1994-95

Dæmi 9. Neðra stig 1994-95

Dæmi 10. Neðra stig 1994-95

Dæmi 11. Neðra stig 1994-95

Dæmi 12. Neðra stig 1994-95

Dæmi 13. Neðra stig 1994-95

Dæmi 14. Neðra stig 1994-95

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK