Ferningi er breytt í rétthyrning með því að auka breidd hans um $20\%$ og minnka hæð hans um $20\%$. Hvað er hlutfallið milli flatarmáls rétthyrningsins og upphaflega ferningsins?
Látum $x$ tákna hliðarlengd ferningsins. Þá er breidd rétthyrningsins $\text{1,2}x$ og hæð hans $\text{0,8}x$. Flatarmál rétthyrningsins er þá $$ (\text{1,2}x)\cdot (\text{0,8}x)=(1-\text{0,2})(1+\text{0,2})x^2=(1-\text{0,04})x^2=\text{0,96}x^2.$$ Hlutfallið milli flatarmáls rétthyrningsins og ferningsins er þá $\text{0,96}$.
Ef $x$ er rauntala, þá er ójafnan $1\le |x-2|\le 7$ jafngild
Ef $1\leq |x-2|\leq 7$, þá er $-7\leq x-2\leq -1$ eða $1\leq x-2\leq 7$, það er að segja, $-5\leq x\leq 1$ eða $3\leq x\leq 9$.
Á myndinni er ferhyrningurinn $A B C D$ umritaður um hring. Gefið er að $|A B| = 4$, $|B C| = 5$ og $|C D| = 3$. Hvað er $|D A|$?
Látum $P$, $Q$, $R$ og $S$ vera snertipunkta hringsins við hliðarnar $A B$, $B C$, $C D$ og $D A$. Við notfærum okkur nú þá staðreynd að ef armar horns snerta sama hringinn, þá er lengdin frá toppunkti hornsins að snertipunktunum sú sama. Af þessu leiðir að summa mótlægra hliða í ferhyrningnum $A B C D$ er sú sama, það er $|A B|+|C D|=|B C|+|D A|$. Þar með er $$ |D A|=|A B|+|C D|-|B C|=4+3-5=2.$$
Allar hliðar fimmhyrningsins á myndinni eru jafnlangar. Hver er stærð hornsins $\angle ABC$ í gráðum?
Nú er $BCDE$ ferningur og því strikið $BE$ jafn langt hliðum fimmhyrningsins. Þá er þríhyrningurinn $ABE$ jafnhliða og því $$\angle ABC=\angle ABE+\angle EBC=60^\circ+90^\circ=150^\circ.$$
Hverja myndanna er unnt að nota til að búa til kassann?
Hvorug myndanna $A$ eða $B$ kemur til greina því rétthyrndu hliðarnar lenda hvor í annarri þegar þær eru brotnar saman. Mynd $C$ kemur ekki til greina þar sem toppurinn passar ekki. Þá er aðeins mynd $D$ eftir og fljótlegt er að sannfæra sig um að hægt er að brjóta hana saman og fá kassann á myndinni.
Lausn jöfnunnar $\sqrt{5x-1}+\sqrt{x-1} = 2$ er
Hér er sjálfsagt fljótlegast að prófa valmöguleikana. Fyrstu tveir koma ekki til greina þar sem þá er neikvæð stærð undir seinni rótinni. Þá eru aðeins tveir seinni eftir og með því að prófa þá sjáum við að $x=1$ er lausn en ekki $x=2$. Síðasti valmöguleikinn er því sá rétti.
Ef við viljum hinsvegar finna allar lausnir jöfnunnar þá myndum við bera okkur einhvernvegin svona að: Byrjum á að athuga fyrir hvaða $x$ jafnan $\sqrt{5x-1}+\sqrt{x-1}=2$ er skilgreind. Undir rótunum verður að vera frekar jákvæð stærð svo $5x-1\geq 0$ og $x-1\geq 0$, það er $x\geq 1$. En þar sem $\sqrt{x-1}$ er jákvæð stærð, þá er $\sqrt{5x-1}\leq 2$ svo að $5x-1\leq 4$ og því $x\leq 1$. Nauðsynlega er þá $x=1$. Við prófum $x=1$ og sjáum að það er lausn á jöfnunni.
Gerum ráð fyrir að $a\gt 0$. Þá er $\sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[3]{a}$ jafnt
Fyrir $a\gt 0$ höfum við að $$ \sqrt[6]{a}\cdot\sqrt{3}{a}=a^{\frac{1}{6}}a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{6}+\frac{1}{3}} =a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}.$$
Ef $3t-1=s-3$, þá er $t-3$ jafnt
Ef $3t-1=s-3$, þá er $t=\frac{1}{3}(s-2)$ og því $$t-3=\frac{s-2}{3}-3=\frac{s-11}{3}.$$
